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「数学の文章題が嫌い。特に証明問題は解き方が分からない。」
このような声を中学生からよく聞きます。問題文が長いうえに、証明問題になると解答も長々と書かないといけません。
ですが、中学数学は問題のタイプがある程度限定されており、解き方のコツさえつかんでしまえば得点源にしやすいです。
そこで、中学生向けに定期テストや高校入試対策用に「3つの連続する整数」の解き方を解説します。よく出る問題を例題にしています。
※関連記事：【中学生向け】Z会タブレットコースの進め方：成績上位を取って難関校に合格する方法を解説
数学の文章問題のなかでも「3つの連続する整数」はよく出てきます。苦手にしている人も多いタイプの問題ですが、解き方のコツがつかめれば実は解きやすい問題です。
「連続する整数」というのは、「2、3、4」や「8、9，10」のようなことです。
「連続する3つの整数」ではなく、「連続する3つの自然数」という問題も多いです。まったく同じ問題であり、解き方もまったく同じです。
ちなみに、自然数とは「正の整数」（プラスの整数）という意味です。「1、2、３、…」が正の整数で、「-1、-2、-3、…」が負の整数（マイナスの整数）です。
「自然数」は「整数」の一部です。
「連続する3つの整数」ではなく、「隣り合う3つの整数」と書いている問題もあります。まったく同じ問題なので、解き方もまったく同じです。
| 連続する3つの整数 | すべて同じ！ |
| 連続する3つの自然数 | |
| 隣り合う3つの整数 | |
| 隣り合う3つの自然数 |
このタイプの問題は3つの整数のなかで真ん中の数字を「n」にします。書き方は以下のとおりです。
「nを整数とすると、連続する3つの整数はn-1、n、n+1となる。」
では、「2、3、4」を例にして、真ん中の数字である「3」を「n」に書きかえてみましょう。
2、3、4
↓
2、n、4
「2」は「3」より「1小さい数字」ですし、「4」は「3」より「1大きい数字」です。これも、「3」を「n」に書きかえて表してみます。
3より1小さい
↓
nより1小さい
↓
n-1
3より1大きい
↓
nより1大きい
↓
n+1
上記のようになります。
なお、書きかえる文字はaでもtでもxでもpでも良いです。学校の先生によっては「教科書にnと書いているからnにしないとテストでは点数あげない」と考える方もいます。ですから、nにするのが無難です。
「連続する5つの整数」という問題もときどき出てきます。この場合でも解き方は同じで、真ん中の数をnにします。
以下のように表します。
n-2、n-1、n、n+1、n+2
「3つの連続する偶数」という問題もあります。偶数は「2、4、6、8、…」のような数字のことです。
「2n」にすれば完成です。
「3つの連続する奇数」という問題もあります。奇数は「1、3、5、7、…」のような数字のことです。
「2n-1」か「2n+1」にすれば完成です。どちらでも大丈夫で、自分の計算しやすいほうにしましょう。
| 連続する3つの整数 | n-1、n、n+1 |
| 連続する3つの偶数 | 2n-2、2n、2n+2 |
| 連続する3つの奇数 | 2n-1、2n+1、2n+3 |
3つの連続する整数を、nを使って表せたら、あとは問題で示されている条件に合うように計算します。
「3つの連続する整数の和」のように「和」とあれば、足し算します。
「3つの連続する整数の積」のように「積」と書かれていたら、かけ算します。
証明問題の締めは、問題文の書き写しです。一字一句そのままで書き写すと減点されにくいです。
こうした問題は中学数学の基本的な整数問題の一つで、特に中学生のテスト対策に重要な解法です。
それでは、テストによく出る問題を解いてみましょう。慣れれば問題の条件が変わってもテストで全問正解を目指せます。
【問題】
「連続する３つの整数の和は真ん中の数の3倍であることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する3つの整数はn-1、n、n+1となる。
(n-1)+n+(n+1)
=n-1+n+n+1
=3n
nは整数なので、3nは3の倍数である。よって、連続する３つの整数の和は真ん中の数の3倍である。
この問題では「連続する３つの整数の和は～」と言っています。「和」というのは「足し算の答え」なので、「連続する３つの整数を足し算しなさい」と言っているのと同じです。ですので、上記の解答のように足し算をしています。
教科書によって細かい文言は多少変わります。「nは整数なので、3nは3の倍数である。」という文言を書かない教科書もあります。高校入試では書いても書かなくてもＯＫですが、定期テストでは教科書に合わせるほうが減点されません。
また、「よって」を「以上により」と書いても大丈夫です。
【問題】
「連続する3つの整数の和は3の倍数になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する整数はn-1、n、n+1となる。
(n-1)+n+(n+1)
=n-1+n+n+1
=3n
nは整数なので、3nは3の倍数である。よって、3つの連続する整数の和は3の倍数になる。
「連続する3つの整数」なので、n-1、n、n+1とします。後は計算→問題文の丸写しです。
「連続する3つの整数の和が～のとき、3つの整数を求めなさい」という問題です。「～」はそのときによって変わりますが、解き方はすべて同じです。
【問題】
「連続する3つの整数の和が36になるとき、この3つの整数を求めなさい。」
【解答・解説】
nを整数とすると、連続する整数はn-1、n、n+1となる。
(n-1)+n+(n+1)=36
n-1+n+n+1=36
3n=36
n=12
3つの連続する整数のうち真ん中の数が12なので、この3つの整数は11、12、13になる。
「連続する3つの整数」なので、n-1、n、n+1とします。後は計算→問題文の丸写しです。
また、指定された数を3で割るだけでもすぐに答えが出ます。この問題では「36」と指定されているので、下記のように計算します。
36÷3=12
このとき出てきた「12」が「3つの連続する整数の真ん中の数字」になります。後は、12-1、12+1をすればほか2つの数字も出てきます。
「3つの連続する整数の和が48」とあれば、「48÷3=16」となるので答えは「15、16、17」です。
最も大きい数は何か？という問題もあれば、最も大きい数が～になることを証明しなさいという問題もあります。下記のように解きます。
【問題】
「3つの連続する整数があり最も小さい数を2乗したものは残りの2つの数の積より35小さい。このとき、最も大きい数を求めなさい。」
【解答・解説】
nを整数とすると、連続する3つの整数はn-1、n、n+1となる。
(n-1)2=n(n+1)-35
n2-2n+1=n2+n-35
n2-n2-2n-n=-35-1
-3n=-36
n=12
3つの連続する整数のうち真ん中の数が12なので、最も大きい数字は13になる。
【問題】
「3つの連続する整数があり最も小さい数を2乗したものは残りの2つの数の積より35小さいとき、最も大きい数が12になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する3つの整数はn-1、n、n+1となる。
(n-1)2=n(n+1)-35
n2-2n+1=n2+n-35
n2-n2-2n-n=-35-1
-3n=-36
n=12
3つの連続する整数のうち真ん中の数が12なので、最も大きい数字は13である。よって、3つの連続する整数があり最も小さい数を2乗したものは残りの2つの数の積より35小さいとき、最も大きい数が12である。
最も小さい数を2乗するパターンです。このとき、最も小さい数をnにして、「3つの連続する整数」を「n、n+1、n+2」と表しても大丈夫です。
最後の「よって」以降は問題文を丸写しです。
最も大きい数を2乗する問題も解説します。
最も小さい数は何か？という問題もあれば、最も小さい数が～になることを証明しなさいという問題もあります。下記のように解きます。
【問題】
「3つの連続する整数があり最も大きい数を2乗したものは残りの2つの数の積より25大きいとき、最も小さい数を求めなさい。」
【解答・解説】
nを整数とすると、連続する3つの整数はn-1、n、n+1となる。
(n+1)2=n(n-1)+25
n2+2n+1=n2-n+25
n2-n2+2n+n=25-1
3n=24
n=8
3つの連続する整数のうち真ん中の数が8なので、最も小さい数字は7になる。
【問題】
「3つの連続する整数があり最も大きい数を2乗したものは残りの2つの数の積より25大きいとき、最も小さい数が7になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する3つの整数はn-1、n、n+1となる。
(n+1)2=n(n-1)+25
n2+2n+1=n2-n+25
n2-n2+2n+n=25-1
3n=24
n=8
3つの連続する整数のうち真ん中の数が8なので、最も小さい数字は7である。よって、3つの連続する整数があり最も大きい数を2乗したものは残りの2つの数の積より25大きいとき、最も小さい数が7になる。
ここでも、最後の「よって」以降は問題文を丸写しです。
偶数が3つ連続する問題もよく出てきます。偶数は真ん中の数を2nにし、左の数を2n-2、右の数を2n+2にします。偶数は「2ずつ増えていく（2→4→6など）」ので、-2や+2にします。
また、「和」と指定されているので、足し算ですね。
【問題】
「3つの連続する偶数の和は6の倍数になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する3つの偶数は2n-2、2n、2n+2となる。
(2n-2)+2n+(2n+2)
=2n-2+2n+2n+2
=6n
nは整数なので、6nは6の倍数である。よって、3つの連続する偶数の和は6の倍数になる。
「6の倍数になることを証明しなさい」と指定されているので、計算の答えが「6n」になれば完了です。
後は、いつもどおり問題文を丸写しして解答終了です。
奇数が3つ連続する問題もよく出てきます。奇数は真ん中の数を2n-1にし、左の数を2n-3、右の数を2n+1にします。
「奇数は偶数から1引く（1足す）」と覚えておけば大丈夫です。
また、「和」と指定されているので、足し算ですね。
【問題】
「3つの連続する奇数の和は3の倍数になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する3つの奇数は2n-3、2n-1、2n+1となる。
(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)
=2n-3+2n-1+2n+1
=6n-3
=3(2n-1)
2n-1は整数なので、3(2n-1)は3の倍数である。よって、3つの連続する奇数の和は3の倍数になる。
「3の倍数になることを証明しなさい」と指定されているので、計算の答えが3×～の形になれば完了です。
奇数の場合は「nは整数なので」ではなく、「2n-1は整数なので」になります。
なお、真ん中の奇数を2n+1にすると、最後は3(2n+1)になります。
後は、問題文を丸写しして解答終了です。
「連続する3つの奇数の和は中央の奇数の3倍になることを証明しなさい」という問題もよくあります。
解き方は以下のとおりです。
【問題】
「3つの連続する奇数の和は中央の奇数の3倍になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する3つの奇数は2n-3、2n-1、2n+1となる。
(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)
=2n-3+2n-1+2n+1
=6n-3
=3(2n-1)
中央の奇数が2n-1なので、3(2n-1)は3の倍数である。よって、3つの連続する奇数の和は中央の奇数の3倍になる。
中央の奇数を「2n+1」とおくと、連続する3つの奇数は「2n-1、2n+1、2n+3」になり、足し算した結果は「3(2n+1)」になります。
数字が少し変わっても、証明の流れや文言はそのままです。
条件がもう少し追加された問題もあります。解き方や証明の仕方の流れは同じです。
【問題】
「連続する3つの奇数の2乗の和に1を加えた数は、12の倍数になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する3つの奇数は2n-1、2n+1、2n+3となる。
(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2+1
=4n2-4n+1+4n2+4n+1+4n2+12n+9+1
=12n2+12n+12
=12(n2+n+1)
n2+n+1は整数なので、12(n2+n+1)は12の倍数である。よって、連続する3つの奇数の2乗の和に1を加えた数は、12の倍数になる。
「12の倍数になることを証明しなさい」と指定されているので、「12×～」の形になれば計算終了です。
あとは問題文を写して解答終了です。
また、「2ケタの数字で10の位と1の位を入れ替える問題」も数学の文章題でよく出てきます。その問題の解き方の解説や練習問題は以下の記事でくわしく解説しています。
2ケタの正の整数の10の位の数と1の位の数を入れ替えた問題などの解き方：中学数学頻出の応用問題の練習
「連続する4つの数」というパターンの問題も定期テストで1-2問出てきます。解き方は「連続する3つの数」とまったく同じです。
こちらも、頻出問題と解き方を説明します。
オーガニックの出産祝い【Haruulala】連続する3つの数の場合だと、「真ん中の数」を「n」にします。4つの数が連続する場合なら「2つ目の数」か「3つ目の数」をnにします。どちらでも良いです。
以降は、「連続する3つの整数」と同じ解き方です。式をつくり、計算してnを求めます。
【問題】
「連続する4つの整数について、大きい方の2数の積から小さい方の2数の積をひいた数はこれらの4つの整数の和になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する4つの整数はn-2、n-1、n、n+1となる。
大きい方の2数の積から小さい方の2数の積をひいた数は以下のように表せる。
n(n+1)-(n-2)(n-1)
=n2+n-n2+3n-2
=4n-2
4つの整数の和は以下のように表せる。
n-2+(n-1)+n+(n+1)
=n-2+n-1+n+n+1
=4n-2
よって、連続する4つの整数について、大きい方の2数の積から小さい方の2数の積をひいた数はこれらの4つの整数の和になる。
解答例では「3つ目の整数」を「n」にしました。「2つ目の整数」を「n」にすると、「連続する4つの整数」を以下のように表せます。
n-1、n、n+1、n+2
計算結果が「4n+2」になりますが、解き方は同じです。
【問題】
「連続する4つの奇数の和は8の倍数になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する4つの奇数は2n-3、2n-1、2n+1、2n+3となる。
2n-3+(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)
=2n-3+2n-1+2n+1+2n+3
=8n
nは整数なので、8nは8の倍数である。よって、連続する4つの奇数の和は8の倍数になる。
表す数が3つから4つになっても奇数の表し方は同じです。偶数でも同じです。
【問題】
「連続する４つの奇数の和は中央の数の４倍になることを証明しなさい。」
【解答】
nを整数とすると、連続する4つの奇数は2n-3、2n-1、2n+1、2n+3となる。
2n-3+(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)
=2n-3+2n-1+2n+1+2n+3
=8n
nは整数なので、8nは8の倍数である。
2n-3、2n-1、2n+1、2n+3の中央の数は2nなので、その4倍は8nとなる。よって、連続する４つの奇数の和は中央の数の４倍になる。
この問題のポイントは「連続する４つの奇数の中央の数ってどれのことか」です。
例えば、「1、3、5、7」（連続する4つの奇数）で考えてみましょう。中央の数は何かというと「1～7の中央の数」です。つまり「4」です。
4は「3+1」あるいは「5-1」と表せます。
上記の解答例でいうと、「3」は「2n-1」にあたります。ここから、中央の数を「2n」と表せます。
中3で習う二次方程式にも「連続する正の整数」の問題があります。解き方を解説します。
二次方程式の場合でも、このタイプの問題は3つの整数のなかで真ん中の数字を「n」にします。以下のように書きます。
「nを整数とすると、連続する3つの整数はn-1、n、n+1となる。」
3つの連続する整数を、nを使って表せたら、あとは問題で示されている条件に合うように計算します。
以下の問題を例に取って説明します。
問. 連続する3つの正の整数がある。それぞれの2乗の和が149になるとき、真ん中の数を求めなさい。
「それぞれの2乗の和」と問題文にあるので、「それぞれの数を2乗」し、さらに足し算します（和＝足し算）。
(n-1)2+n2+(n+1)2=149
n2-2n+1+n2+n2+2n+1=149
3n2=147
n2=49
n=±7
これで、「真ん中の数」は±7だと分かりました。+7と-7の2パターンの解答があります。
2次方程式の「連続する整数の問題」では、条件に合わない解答が出てくることがあります。
上記の例題では、問題文に「連続する3つの『正の整数』」とあります。-7は「負の整数」なので、解答から除外します。
これで、解答は7だと分かりました。
このように、2次方程式では解答が出てきても、「条件に合わないものを除外しないといけないかも」と注意するようにしましょう。
それでは、いくつか二次方程式の「連続する正の整数」の問題を解いてみましょう。
【解答】-12
【解説】
nを自然数とすると、連続する3つの自然数はn-1、n、n+1となる。
(n-1)2+n2+(n+1)2=365
n2-2n+1+n2+n2+2n+1=365
3n2=363
n2=121
n=±11
nは自然数なので、-11は問題に合わない。よって、n=11である。
最も小さい数はn-1なので、答えは-12になる。
【解答】
4、5、6
【解説】
nを自然数とすると、連続する3つの自然数はn-1、n、n+1となる。
(n+1)2=n-1+n+27
n2+2n+1=2n+26
n2=25
n=±5
nは自然数なので、-5は問題に合わない。よって、n=5である。
この3つの自然数は4、5、6になる。
【解答】
12
【解説】
nを整数とすると、連続する3つの整数はn-1、n、n+1となる。
(n-1)2=n(n+1)-38
n2-2n+1=n2+n-38
3n=39
n=13
nは整数なので、問題の条件に合う。
よって、n=13である。
最も小さい数は12になる。
【解答】
12
【解説】
nを正の整数とすると、連続する3つの正の整数はn-1、n、n+1となる。
(n-1)2+n2+(n+1)2=77
n2-2n+1+n2+n2+2n+1=77
3n2=75
n2=25
n=±5
nは正の整数なので、-5は問題に合わない。よって、n=5である。
この3つの自然数は4、5、6になる。
正の整数＝自然数
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