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高校入試の数学でよく出る問題(計算、関数、確率、図形)とおすすめの数学問題集

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高校入試の数学でよく出る問題を単元別にまとめました。

学校の実力テスト対策や業者模試対策、高校入試対策にご活用ください。

※関連記事:高校入試の数学でよく出る文章問題

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高校受験でよく出る数学の問題

高校受験で頻出の数学の問題を単元ごとにまとめました。気になる単元の問題を解いてみて下さい。

計算問題

解答

(1)-23

3×(-7)+(-2)
=-21-2
-23

(3) -6x+8

(-2x+3)-(4x-5)
=-2x+3-4x+5
=-6x+8

(6) x=-2

2x+3=-1
2x=-4
x=-2

(7) x=2/7

(x-3)2-(-x+4)2=0
x2-6x+9-x2+8x-16=0
2x-7=0
2x=7
x=2/7

比例・反比例の問題

(1) yはxに比例し、x=6のときy=18である。yをxの式で表しなさい。

(2) 反比例y=のグラフが点(2, -3)を通るとき、aの値を求めなさい。

(3) 関数y=のグラフ上の点で、x座標とy座標がともに整数となる点は全部で何個あるか。

(4) ①は関数y=4xのグラフである。グラフ上にある点Aからx軸に引いた垂線とx軸との交点をPとする。三角形OAPの面積が32になるとき、点Aの座標を求めなさい。

(5) 毎分5Lの割合で水を入れると20分で満杯になる空の水そうがある。

①この水そうに毎分xLの割合で水を入れたときに満杯になるまでの時間をy分として、yをxの式で表しなさい。

②毎分4Lの割合で水を入れると満杯になるまで何分かかりますか。

解答

(1) y=3x

y=axの式に
x=6、y=18を代入する。
18=6a
a=3

(2) y=-6/x

y=の式にx=2、y=-3を代入する。
-3=
a=-3×2
a=-6

(3) 6個

y=の式で、xとyに整数を入れて「=」が成り立つような組み合わせを考える。
xy=12になればいいので、
(x, y)=(1,12) (2,6) (3,4) (4,3) (6,2) (12,1)の6通り

(4) (4, 16)

三角形の面積を求める公式は、
「たて×横÷2」。
このグラフでは、
「たて」=AP
「横」=OPになるので、
AP×OP÷2=32
y=4xということは、xが1増えるたびにyは4増える。たては横の4倍の長さになる。
x×y÷2=32
x×4x÷2=32
2x2=32
x=4
y=16

(5)

① y=100/x

y=の式にx=5、y=20を代入する。
20=
a=100

② 25分

y=100/xにx=4を代入する。
y=100/4
y=25

1次関数・2次関数の問題

(1) yはxの1次関数であり、x=4のときy=10、x=-2のときy=-2になる。yをxの式で表しなさい。

(2) x軸に平行で、点(4, 2)を通る直線の式を求めなさい。

(3) y=ax2において、xの値が3から5に増加するときの変化の割合は4である。このとき、aの値を求めなさい。

(4) 傾きが一定の斜面でボールを転がした。ボールが転がりはじめてからx秒間にボールの進んだ距離をymとすると、yはxの2乗に比例した。ボールが転がりはじめてから3秒間に進んだ距離が18mのとき、yをxの式で表しなさい。

(5)

下の図のように、AB=5cm、BC=12cmの長方形がある。点Pは点Bを出発して毎秒1cm進み、点Qは同じく点Bを出発して毎秒2cm進む。点P、Qが点Bを同時に出発してから5秒後の三角形BPQの面積を求めなさい。

解答

(1) a=2、b=2

y=ax+bの式に、x=4、y=10と、x=-2、y=-2を代入する。
10=4a+b
-2=-2a+b

この式を解いて、a=2、b=2

(2) y=2

x軸に平行ということは、x座標に関係なくy座標はずっと同じ。

(3) a=1/2

変化の割合=(yの増加量)÷(xの増加量)なので、
4=(25a-9a)/(5-3)
a=1/2

(4) y=2x2

まず、y=ax2の式をつくる。

3秒間に18m進んだので、
x=3、y=18を代入する。

18=9a
a=2

(5) 25cm2

まず、出発してから5秒後に点P、Qがそれぞれどの位置にあるか考える。

点Pは5秒間で5cm進み、点Qは10cm進んでいるので、
△PBQはBP=5cm、BQ=10cmの直角三角形になっていることがわかる。

5×10×1/2=25cm2

確率の問題

(1) 2つのサイコロを同時に投げて、出る目の和が9以上になる確率を求めなさい。

(2) 2つのサイコロを同時に投げて、出る目の数の積が奇数になる確率を求めなさい。

(3) ある箱のなかに、当たりくじ2本と外れくじが1本ある。AさんとBさんが箱の中にあるくじを1本ずつ引くとする。Aさんがくじを引いた後、そのくじを箱に戻さずにBさんがくじを引くとき、AさんとBさんの両方が当たりくじを引く確率を求めなさい。

(4) 10円玉、50円玉、100円玉の合計3枚の硬貨が財布に入っている。その中から同時に2枚を取り出したとき、硬貨の金額の合計が100円以上になる確率を求めなさい。

(5) 48枚のトランプが裏返しに置かれている。その中から同時に3枚を選んだとき、選んだトランプのカードのマークが少なくとも1枚が赤色である確率を求めなさい。ただし、ジョーカーは入っていないとする。

解答

(1)

2つのサイコロを同時に投げたときの出る目の組み合わせは、全部で36通りある。
そのなかで出る目の和(=足し算の答え)が9、10、11、12になるのは下記の10通り。

 123456
1      
2      
3     
4    
5   
6  

(2)

2つのサイコロを同時に投げたときの出る目の組み合わせは、全部で36通りある。
そのなかで出る目の積(=かけ算の答え)が奇数になるのは下記の9通り。

 123456
1   
2      
3   
4      
5   
6      

(3) 2/3

当たりくじをA、外れくじをaとして樹形図を描く。

      

上記の樹形図のように、くじの引き方は全部で6通り。
そのうち、2人とも当たりくじを引くのは4通り。

(4)2/3

3枚の硬貨から2枚を取り出すときの組み合わせは下記の3通り。

a)10円+50円=60円
b)10円+100円=110円
c)50円+100円=150円

「100円以上になる組み合わせ」はb)とc)の2通り。

(5) 7/8

「少なくとも1枚が赤色」のように「少なくとも~」という条件がついている問題では、その逆のケースを考えると良い。この問題では「少なくとも1枚が赤色」なので、その逆は「すべて黒色」の場合を考える。
赤色を〇、黒色を×として樹形図を描いて数える。
すると、「すべて黒色」になる確率が1/8だとわかる。
最後に、「すべて黒色」にならない=「少なくとも1枚が赤色」の確率を求める。
1-1/8=7/8

図形の問題

(1)以下の図形の∠ABEの角度を求めなさい。ただし、五角形ABCDEは正五角形とする。

(2)下記の図は中心角270度のおうぎ形である。底面の円Oの半径を求めなさい。
なお、おうぎ形の半径は12cmとする。

(3)下記の図はAC∥DEの三角形である。AC=8cm、DE=6cm、BC=12cmのとき、BEの長さを求めなさい。

(4)2つの円A、Bがあり、相似比は2:5である。円Aの面積が26πcm2のとき、円Bの面積はいくらになるか。

解答

(1)36°

ABCDEは正五角形なので、辺AB=辺AE。
∠BAEは540°÷5=108°になるので、
∠ABE=(180°-108°)÷2=36°           

(2)9cm

おうぎ形の弧の長さ=円Oの円周なので、まずおうぎ形の弧の長さを求める。
12×2×π÷2=18πcm

つづいて、円Oの半径をxcmとして、円Oの円周を求める式をつくる。
x×2×π=18π
x=9cm                            

(3) 9cm

AC∥DEなので、
BC:BE=AC:DE
12:BE=8:6
BE=9

(4) 325π/2cm2

面積比は相似比の2乗になる。
円A:円B=2:5
26π:円B=22:52
26π:円B=4:25

円B=325π/2

高校入試数学の勉強方法

高校入試は定期テストより範囲が広く、勉強時間がいくらあっても足りません。ですが中3は内申点の比重が多くの県で高く、受験勉強にそれほど長い時間を回しづらいです。

そこで、数学の入試対策を効率よく進められるようにできる勉強方法をお伝えします。単元ごとにまとめていますので、気になる単元をピックアップしてご活用ください。

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計算ミスを減らせる勉強方法

高校入試の計算問題は決して難問ではありません。1問も取りこぼさずに正解を取り切りたいですね。

計算問題での間違え方は2つあります。

  • 計算方法がわからない
  • わかっていたのにミスをする

計算問題で間違いがなかなか減らない人は、「間違う原因」をまず探りましょう。意外と「計算方法がわかっていなかった(誤解していた)」という人が多いです。

分配法則の仕方、分数の計算の仕方、平方根の計算ルールなど、問題を解きながら自分で解説してみましょう。解説してみれば、計算ルールが定着しているかどうかを自分で確認できます。

計算ルールが分かっているのに間違う場合は、「解き方」が定着していないのかもしれません。定着しきっていない場合、いつもと違う場所で問題を解く、いつもと違う形式の問題を解く、いつもより急いで解いたなどの「いつもとちょっと違う状況」にいるだけでミスが起こりやすいです。

また、最近習ったばかりの問題も1週間経つと忘れてきています。九九の問題も、中学生になればスラスラ解けますしミスもしません。ですが小学生の習いたてのころは幾度となく間違えたはずです。

かけ算やわり算の九九の暗唱を何百回もして脳が「正解のアウトプット」に慣れてくれたから、今ではミスなく九九を使えるようになっているのです。

さすがに高校入試対策で単元ごとに何百回も解くのは時間的にむずかしいですが、正解した問題を翌日もう1度解いてみてください。正解した問題ですから、正しい解き方がわかっているはずです。

問題を解くのに時間がかかりませんし、問題に間違ってしまって「脳に間違ったアウトプットを学習させてしまう」リスクも小さくできます。

比例・反比例、関数の勉強方法

比例・反比例、関数は中1~中3の2学期に学習します。いずれも「一方の数字の変化に合わせてもう一方の数字も変化する」という点で同じです。xが2倍、3倍に増加したらyも2倍、3倍に増加するなど。

文章題やグラフが出てきたら、ひとまずy=axやy=ax2などの式を作るようにしましょう。

あとは、xとyの組み合わせ(x=1のとき、yがいくらになるかなど)を見つければ完成です。

※関連記事:【中学数学】関数、比例・反比例の問題の解き方

xとyの組み合わせを見つけるのに連立方程式や2次方程式を使います。「関数が苦手です」という人のなかには、式をつくるところまでは大丈夫なのにその先の計算方法があやふやになっている人もいます。

そういう人はまず計算の練習をしておきましょう。

確率の勉強方法

確率が苦手な人は、問題ごとに解き方を考えている傾向があります。

確率は問題がパターン化されています。パターンごとに演習をして、解き方に慣れるほうが早いです。

  • サイコロを振るパターン
  • コインを投げるパターン
  • 玉を取り出すパターン
  • トランプを引くパターン

それぞれのパターンでの解き方を覚えておけば、迷うことなく正しく解けます。

※関連記事:【中学数学】確率の求め方の裏ワザ

また、樹形図を描くときは下記のように「数字や記号の若い順」に書きましょう。

1→2→3
a→b→c

これだけで書きもれを防げます。

図形の勉強方法

図形はまず「公式や条件・性質」を覚えましょう。合同条件や相似条件はもちろん、「多角形の角の性質」「平行四辺形の性質」などの細かいところまで覚えておきましょう。

図形の問題は「どの条件・性質を使うか」の選択で決まります。どの条件・性質を使うかが問題を見てすぐにわかる問題もありますが、入試では「すぐにわからない問題」のほうがよく出ます。

図形に長さや角の大きさを書き入れたり、平行な線分はないか、「二等辺三角形」「正方形」のように辺の長さや角の大きさが等しいことが織り込み済の図形はないかなどを探します。

そこから「使えそうな条件・性質」の候補をしぼりこんでいきます。

また、過去問対策が非常に有効な単元でもあるので、過去問を10年分は解くようにしましょう。

※関連記事:【中学数学】平面図形・空間図形の解き方とコツ

通信教育を活用する

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まとめ

高校入試の数学でよく出る問題をまとめました。二次方程式などの計算問題、比例・反比例と関数の問題、確率の問題、図形の問題です。いずれも必ず正解しておきたい問題ばかりです。

また、条件や性質を覚える、問題のパターン演習をするなどして入試に対応できる学力を養いましょう。

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福地 暁です。
個別指導の塾を経営しています。

これまで3000組以上のご家庭を担当させていただきました。
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みなさまの学びにプラスになる情報をお伝えしていきます!
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