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比例・反比例の解き方(グラフのかき方や公式のつくり方)と練習問題(文章問題、応用問題)

「比例・反比例のグラフの書き方が分からない」
「問題文から式をどうやって立てればいいか分からない」

このような悩みを感じている中学生は多いのではないでしょうか。

比例・反比例は、計算・文章題・グラフと問題の種類がたくさんあるため、こんがらがってしまいます。

ですが、コツさえつかめば比例・反比例はかなり得点しやすい単元です。

そこで、中学生向けに比例・反比例の解き方のコツを紹介します。練習問題も載せていますので、しっかり演習して比例・反比例を得意にしてしまいましょう!

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比例とは

まず、比例とは何なのかを確認します。

2倍、3倍に増えていく関係性

比例とは、「一方の数字が2倍、3倍になればもう一方の数字も2倍、3倍に増えていく関係性」を指します。

例えば、1個100円のリンゴを2個買うと代金は200円になります。3個買うと代金は300円になります。

表にすると↓です。

リンゴの個数1個2個3個4個
リンゴの代金100円200円300円400円

リンゴの個数を2倍、3倍にするとリンゴの代金も2倍、3倍に増えていくので、「リンゴの個数とリンゴの代金は比例している」と言います。

y=axと表す

比例はy=axという式で表します。このとき、「yがxに比例する」という言い方をします。

前述の1個100円のリンゴを例にして、リンゴの個数をx、リンゴの代金をyとすると以下のような式になります。

y=100x

リンゴを25個買った場合に代金がいくらになるか?を求めるには、x=25をy=100xの式に代入します。

y=100×25
y=2500

つまり、「リンゴの代金は2500円になる」というわけです。

aは比例定数

y=axの「a」は「比例定数」と呼びます。

比例定数とは、xが2倍になるとyが何倍になるかを示しています。

例えば、
y=2xなら、xが2倍になるとyも2倍になり、
y=3xなら、xが3倍になるとyも3倍になります。

比例のグラフの書き方

比例にはグラフがあります。

グラフを書くには、「2つの点の座標」を求めます。座標というのは、上記のような座標面での「位置」を指します。「xがいくらのときにyがいくらなのかの組み合わせ」と覚えておきましょう。

2つの点の座標が分かれば、その2点に定規をあててまっすぐ線を引きます。これでグラフは完了です。

なお、比例のグラフは「原点(0, 0)」を通るので、座標を求めるのは1つの点だけでも十分です。ただ、問題によっては原点がグラフにない場合もあるので、「2点の座標」を求めると覚えておくほうが確実です。

座標の求め方

座標を求めるには、xに数字を入れてその数字をy=axに代入するだけです。

ただし、xもyも「整数」になる数字が良いです。整数でないと、座標面でどこに点を打てば良いか分かりにくいからです。

以下のように任意のxの値をy=axの式に代入します。

  • aが整数ならx=-1とx=1を式に代入する
  • aが分数なら「aの逆数」を代入する

例えば、y=3xなら、x=-1、x=1を代入します。y=3xにx=-1を代入するとy=-1になり、x=1を代入するとy=3になります。

これで、(-1, -3)と(1, 3)の2つの座標が分かります。

y=1/2xなら、x=-2、x=2を代入します。y=1/2xにx=-2を代入するとy=-1になり、x=2を代入するとy=2になります。

これで、(-2, -1)と(2, 2)の2つの座標が分かります。

反比例とは

つづいて、反比例とは何かを確認しましょう。

1/2倍、1/3倍に増えていく関係性

反比例は「比例の逆」です。「一方の数字が2倍、3倍になるともう一方の数字は1/2倍、1/3倍」になります。つまり、数字が減っていくわけです。

例えばリンゴ100個を何人かで分けるとします。1人でもらうと「1人あたり100個」もらえますが、2人で分けると「1人あたり50個」になります。人数が2倍になると、もらえるリンゴの数が1/2倍(=半分)になります。

表にすると↓です。

人数1人2人4人5人
1人あたりのリンゴの数100個50個25個20個

y=a/xと表す

反比例も式で表すことができます。以下のような式です。

y=a/x

前述の「100個のリンゴを分ける例」を式にすると、以下のような式になります。

y=100/x

100個のリンゴを25人で分けたら1人あたりいくつもらえるか?を求めるとすると、x=25をy=100/xに代入します。

y=100/25
y=4

つまり、1人あたり4個のリンゴをもらえるということが分かります。

反比例のグラフの書き方

反比例のグラフは曲線です。

直線なら2点を結べば良いだけですが、曲線だとそうもいきません。反比例のグラフの書き方を説明します。

座標を4つ求める

反比例のグラフでは、座標を4つ求めましょう。正確に4つである必要はありませんが、4つくらい求められれば書きやすいです。

なお、反比例のグラフは原点(0, 0)を通りませんし、x軸・y軸にも接しないように気をつけましょう。

定期テストでは、x軸に思わずグラフがくっついてしまうと「×」をつけられます。

座標の求め方

反比例のグラフではy=a/xの式にxの値を4種類代入します。

ポイントは、「xもyも整数になるようなxにすること」です。分子と同じかそれより小さい数字で、分子の約数が良いです。

y=2/xやy=-2/xの式ならxを1か2にすると良いです。y=15/xなら、xを1か3か5か15にすると良いです。

比例と反比例の違い

比例と反比例は中1で同時期に習います。どちらもグラフが出てきますし、違いが分かりにくいという中学生も多いです。

比例は増える、反比例は減る

前述のように、比例は「2倍、3倍」になり、反比例は「1/2倍、1/3倍」になります。

つまり、比例は「増えていく」、反比例は「減っていく」という違いがあります。

比例のグラフは直線で、反比例のグラフは双曲線

比例と反比例は数字の変化の仕方が異なるため、グラフも異なります。

上が比例のグラフで、下が反比例のグラフです。比例は右肩上がりか右肩下がりの直線のグラフで、反比例は1つの式でご覧のように2つの曲線のグラフ(=双曲線)になります。

比例/反比例しているかどうかの見分け方

大まかに伝えると、比例は増える、反比例は減るという数値変化です。ただし、「増えれば比例」「減れば反比例」とは限りません。

見分け方を説明します。

2倍、3倍や1/2倍、1/3倍にならないと比例でも反比例でもない

比例も反比例も「一方の数字の変化に合わせて」、もう一方の数字が変化しないといけません。なおかつ、一方の数字が2倍、3倍となればもう一方の数字は、比例なら2倍、3倍…、反比例なら1/2倍、1/3倍…のように変化する必要があります。

例えば、身長が増えれば体重も増えるのが普通です。では身長150cmで体重50kgの人が身長が1.2倍の180cmになると、体重も1.2倍の60kgに増えるでしょうか。

60kgになる人もいるでしょうが、70kgになる人や80kgになる人、100kgになる人もいるでしょう。増えるとしても、「増え方」がきれいに「〇倍」とはなりません。つまり、「身長と体重は比例している」とは言えません。

このように、一方の数字を2倍、3倍にしてもう一方の数字の変化の仕方を考えます。2倍、3倍になったら「比例」で、1/2倍、1/3倍になったら「反比例」です。それ以外は「比例でも反比例でもない数字」です。

比例・反比例の解き方

では、比例・反比例の問題の解き方を説明します。

比例の式、反比例の式をつくる

まず、比例の問題なら比例の式、反比例の問題なら反比例の式をつくりましょう。

比例の式:y=ax
反比例の式:y=a/x
※aは比例定数

特に文章問題では、「式をつくりましょう」と問題文で指示されていなくてもつくるほうが良いです。大抵の問題では式をつくってその式にxやyの値を代入して答えを求めます。

グラフを描く

比例・反比例はグラフを描くと状況がイメージしやすくなります。

前述のように比例は直線、反比例は双曲線です。

基礎固めをしっかり行う

比例・反比例の問題は種類がたくさんあります。比例/反比例の式をつくる、グラフを書く、グラフから式を求める、文章題など。

解き方を考えないと思いだせない状態だと、応用問題ではややこしくなってしまいます。

基礎的な問題を繰り返し解いて、基本問題ならスラスラ解ける!というくらいにまで基本を定着させておきましょう。

比例・反比例の練習問題

それでは、比例・反比例の問題を解いてみましょう。

問題(1)

次のア~オについて、xとyが比例の関係になっているものをすべて選んでください。

ア:身長xcmの人の体重ykg
イ:1個60円のジャガイモx個と値段y円
ウ:気温x℃とアイスクリームの消費量ykg
エ:時速50kmでx時間進んだときの距離ykm
オ:200ページの本をxページ読んだときの残りyページ

解答

答え:エ

xが2倍、3倍に増えたときにyも2倍、3倍に増えるかどうかで判断します。

問題(2)

次の表をみて、xとyの関係を式で表してください。

x-3-2-10123
y-6-4-20246

解答

答え:y=2x

y=axの式をつくり、x=1、y=2を代入します。xとyの組み合わせは表のなかで縦の列になっているものならどれでもOKです。x-3、y=6でも同じ結果になります。

問題(3)

次の表をみて、xとyの関係を式で表してください。

x-3-2-10123
y-9-6-30369

解答

答え:y=3x

問題(2)と同じく、y=axの式をつくって表のなかのxとyの値を代入します。

問題(4)

yはxに比例していて、x=3のとき、y=-6です。xとyの関係を式で表してください。

解答

答え:y=-2x

y=axの式をつくり、x=-3、y=6を代入します。

問題(5)

yはxに比例していて、x=-2のとき、y=8です。xとyの関係を式で表してください。

解答

答え:y=-4x

y=axの式をつくり、x=-2、y=8を代入します。

問題(6)

yはxに反比例していて、x=2のとき、y=4です。xとyの関係を式で表してください。

解答

答え:y=8/x

y=a/xの式をつくり、x=2、y=4を代入します。

問題(7)

yはxに反比例していて、x=-3のとき、y=2です。xとyの関係を式で表してください。

解答

答え:y=-6/x

y=a/xの式をつくり、x=-3、y=2を代入します。

問題(8)

y=2xで、x=3のときのyの値を求めてください。

解答

答え:y=6

y=2xの式にx=3を代入します。

問題(9)

y=-4xで、y=8のときのxの値を求めてください。

解答

答え:x=-2

y=-4xの式にy=8を代入します。

問題(10)

y=2/xで、x=4のときのyの値を求めてください。

解答

答え:1/2

y=2/xの式にx=4を代入します。

問題(11)

y=-6/xで、y=3のときのxの値を求めてください。

解答

答え:x=-2

y=-6/xの式にy=3を代入します。

問題(12)

古新聞の束がある。重さをはかると1束5kgだった。

①yをxの式で表してください。

②この束が10束あると、合計何kgになりますか。

③古新聞を100kgにするには何束あれば良いですか。

解答

答え①:y=5x

古新聞の束の数をx、古新聞の重さをyとしてy=axの式をつくります。
1束5kgなので、y=axにx=1、y=5を代入します。

答え②:50kg

y=5xの式にx=10を代入します。

答え③:20束

y=5xの式にy=100を代入します。

問題(13)

1回200円でスーパーボールを1つのコップにできるだけたくさん入れるゲームがあります。コップに入れた分はすべて持って帰って良いというルールです。コップ1つのなかに入るスーパーボールの数をx、スーパーボール1個あたりの値段をy円として、以下の問いに答えてください。

①yをxの式で表してください。

②1回ゲームをしたところ、スーパーボール1個あたり20円でした。スーパーボールを何個コップに入れられましたか。

③1回ゲームをしてスーパーボール1個あたりの値段を8円以下にするには、コップのなかに何個以上のスーパーボールを入れれば良いですか。

解答

答え①:y=200/x

y=a/xの式をつくり、xとyの関係を表す表をつくります。

x(個)124
y(円)20010050

もしコップのなかにスーパーボールを1個入れると1個あたり200円になるので、x=1、y=200を代入します。

答え②:10円

y=200/xの式にx=20を代入します。

答え③:25個以上

y=200/xの式にy=8を代入します。

問題(14)

80Lの水が入る空の水そうに、毎分xLの割合で水を入れるとy分で水そうはいっぱいになりました。このとき、以下の問いに答えてください。

①yをxの式で表してください。

②この水そうを10分でいっぱいにするには、毎分何Lの水を入れるといいですか。

③この水そうに毎分10Lずつ水を入れる、何分でいっぱいになりますか。

解答

答え①:y=80/x

y=a/xの式をつくり、xとyの関係を表す表をつくります。

x(L)124
y(分)804020

x=1のときy=80になるので、y=a/xの式にx=1、y=80を代入します。

答え②:8L

y=80/xの式にy=10を代入します。

答え③:8分

y=80/xの式にx=10を代入します。

問題(15)

1辺の長さが8cmの正方形ABCDがあります。点Pは頂点Bを出発して秒速2cmの速さで頂点Cに移動して止まります。点Pが頂点Bを出発してからx秒後の三角形ABPの面積をycm2とするとき、次の問いに答えてください。

①yをxの式で表してください。

②xとyの変域を求めてください。

③三角形ABPの面積が24cm2になるのは、点Pが頂点Bを出発してから何秒後ですか。

解答

答え:y=8x

y=axの式をつくり、xとyの関係を表す表をつくります。

x(秒)123
y(cm2)81624

x=1のときy=8になるので、y=axの式にx=1、y=8を代入します。

答え②:0≦x≦4、0≦y≦32

点Pは頂点Bから頂点Cまで8cm移動して止まります。1秒で2cmずつ進むので出発してから4秒後には頂点Cに止まります。

xの最大値が4と分かったので、x=4をy=8xの式に代入します。

答え③:3秒後

y=8xの式にy=24を代入します。

中学数学の問題集

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まとめ

いかがでしょうか。

中学生向けに比例と反比例を基礎から分かりやすく解説し、問題の解き方を説明しました。

比例と反比例の公式のつくりかた、グラフのかきかた、座標の求め方を解説しています。また、比例・反比例は公式をまずつくり、xとyに数字を代入して比例定数aを求めます。

比例・反比例を早く定着できるように練習問題も15問載せているので、ぜひ解いて練習してみてください!

※関連記事:高校受験によく出る数学の文章問題

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福地 暁です。 個別指導の塾を経営しています。 これまで3000組以上のご家庭を担当させていただきました。 中学受験、高校受験、大学受験、英検・TOEIC対策、中学生・高校生の定期テスト対策など、さまざまな学習支援をしています。 みなさまの学びにプラスになる情報をお伝えしていきます! よろしくお願いします。 1男1女の父。 どうやら娘には「甘いパパ」と思われているようで、 アイスやジュースをねだるときは必ずパパのところにきます。

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