【中学数学】比例・反比例と関数の問題の解き方:定期テストや高校入試の対策方法とおすすめの問題集を紹介

教科書を熱心にみる中学生の女の子 中学生
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「中1の反比例あたりからややこしい」
「関数と図形の融合問題がわからない」
「習えば習うほど、自分が何を解いているのかわからなくなる」

このような悩みを感じていませんか?

比例・反比例や関数を苦手にしている中学生は多いです。

計算・文章題・グラフと問題の種類がたくさんあるため、こんがらがってしまいますよね。

※ピンポイントに対策するならオンライン学習塾が便利です。こちらの記事でおすすめのオンライン学習塾と、オンライン学習塾に合う子の特徴を解説しています。

ですが、関数は高校入試でも重要単元です。配点も大きいので、関数で点を取れるかどうかが入試結果に影響しかねません。

自信を持って解けるようにしておきたいですね。

そこで、数学の「比例・反比例」「一次関数・二次関数」「関数と図形の融合問題」がわかるようになる勉強の仕方を紹介します。

※関連記事:平面図形・空間図形の解き方
※関連記事:確率の解き方
※関連記事:高校受験によく出る数学の文章問題

苦手分野を1つでも克服して、
数学を得意科目にしたいですね。

この記事は下記の方向けです。

  • 関数分野の定期テスト対策を知りたい方
  • 高校入試に向けて関数分野を克服したい方

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  1. 比例と反比例の違い
    1. 比例は2倍、3倍に増えていく
    2. 反比例は1/2倍、1/3倍に減っていく
  2. 関数とは何か
  3. 関数の重要性は?
    1. ほかの単元とのつながりは?
  4. 関数の定期テスト対策(学年別)
    1. 中学1年生:比例・反比例の定期テスト対策
      1. 比例・反比例のポイント
      2. 比例・反比例の勉強の仕方
    2. 中学2年生:一次関数の定期テスト対策
      1. 一次関数のポイント
      2. 一次関数の勉強の仕方
    3. 中学3年生:二次関数の定期テスト対策
      1. 二次関数のポイント
      2. 二次関数の勉強の仕方
  5. 定期テスト目標点数別の数学の勉強スケジュール
    1. 平均点を目指す場合の勉強スケジュール
      1. 「数と式」のおすすめの問題集
        1. 『できた!数学 関数・図形・データの活用(中1~中3)』
        2. 『中学定期テスト 得点アップ問題集 改訂版(中1~中3)』
    2. 80点以上を目指す場合の勉強方法
      1. 数学のおすすめのハイレベル問題集
        1. 『チャート式 中学数学』(中1~中3)
      2. 『最高水準問題集 特進 中1/中2/中3数学』
  6. 比例・反比例と関数の高校入試対策の仕方
    1. 入試頻出パターンごとに勉強する
      1. 放物線と直線の面積の解き方
      2. 正方形・長方形の座標・面積の解き方
      3. 等積変形の解き方
    2. 総合問題・過去問演習をする
      1. 総合問題演習の仕方
        1. おすすめの総合問題集
        2. 『高校入試「解き方」が身につく問題集 数学』
        3. 『きちんとこれだけ公立高校入試対策問題集 数学』
        4. 『チャート式 難関校受験対策 ハイレベル中学数学問題集』
        5. 『最高水準問題集 高校入試 数学』
      2. 過去問演習の仕方
      3. おすすめの過去問題集
        1. 『全国高校入試問題正解 分野別過去問』
        2. 『全国高校入試問題正解』
    3. 通信教育で勉強を効率良くする
      1. 月2,178円で受け放題のスタディサプリ
      2. 受講者数No. 1の進研ゼミ
  7. 数学のおすすめのアプリ
    1. 数学公式集
    2. 数学トレーニング(中学1年・2年・3年の数学計算勉強アプリ)
  8. まとめ

比例と反比例の違い

比例と反比例は中1で一緒に習います。どちらもグラフが出てきますし、違いが分かりにくいという中学生も多いです。

比例は2倍、3倍に増えていく

比例の式は
y=ax
と書きます。

aが2倍、3倍と増えていくと、yも2倍、3倍と増えていきます。aが増えればyも同じように増えていくのが比例です。

反比例は1/2倍、1/3倍に減っていく

反比例の式は
y=a/x
と書きます。

aが2倍、3倍と増えていくと、yは1/2倍、1/3倍と減っていきます。aが増えればyは反対に減っていくのが反比例です。

比例の反対だから「反比例」です。

関数とは何か

関数について軽くおさらいしましょう。

関数とは、

「2つの数字があり、一方の数字(x)が変化すると、それにあわせてもう一方の数字(y)も規則的に変化すること」

です。

xが決まるとyも決まる場合、
「yはxの関数である」
と言います。

たとえば、
 y=2x+1
のような式で表されます。

この式の場合、xの値が決まるとyの値も計算して求めることができます。

表にすると下記のようになります。

 x=1x=2x=3x=4
yの値1+1=32+1=53+1=74+1=9

表をご覧いただくと、下記の2点がわかると思います。

  • xが1増えると、yが2増える
  • yの増えた分に「+1」している

「xが1増えるとYがいくつ増えるのか」を
「変化の割合」と言います。

「yの増えた分にいくつ足すのか(減らすのか)」を
「切片」と言います。

「比例・反比例」には「切片」がありません。

関数は、この式を立ててxやyの値を求めたり、この式をもとにグラフを描いたりします。

基本的な内容ですが、ここを押さえておくだけで関数はわかりやすくなります。

関数の重要性は?

定期テストや高校入試で、
関数はどれくらい重要な分野なのでしょうか。学校の授業で関数分野はどれくらい扱うのでしょうか。

学校の年間カリキュラムの標準的な時間数を表にまとめました。

 年間授業時間数関数分野関数分野の授業時間数関数分野に使う授業時間割合
中学1年生140時間比例・反比例20時間14%
中学2年生105時間一次関数20時間19%
中学3年生140時間二次関数18時間13%
学校図書・年間指導計画案をもとに作成

学年によって多少の差はありますが、
年間15%前後ほどの授業時間数を関数分野に使っています。

高校入試ではどれくらいの配点になっているのかも確認します。

公立入試問題は都道府県単位で異なりますので、ここでは都立高入試でみてみます。

満点90点
関数の配点15点
関数の配点割合17%

高校入試での関数の配点は17%となっており、学校の授業時間数の割合(15%前後)とほぼ同じです。

授業で時間を使っているのと同じくらい、関数は高校入試でも重要だということがわかります。

ほかの単元とのつながりは?

関数がほかの単元とどうつながっているのか確認します。

啓林館「新学習指導要領における算数・数学内容系統一覧表」より

ご覧のように、「関数」に「数と式」から矢印が下りてきています。

「関数」ができるようになるには、
「数と式」もできるようになっておく必要があるのです。

具体的な単元名を押さえておきます。

(単元名は啓林館「新学習指導要領における算数・数学内容系統一覧表」より)

【中学1年】
「文字を用いた式」と「一元一次方程式」
→ 「比例・反比例」につながる

【中学2年】
「文字を用いた式」「連立二元一次方程式」と
「比例・反比例」(中1)
→ 「一次関数」につながる

【中学3年】
「一次関数」
→ 「二次関数」につながる

こうした単元間のつながりはあなどれません。

たとえば一次関数を解こうとしても、苦手な連立方程式が邪魔をして学習効果があがらないこともあります。

関数が苦手な人は自身の学年をみて、どの単元を先に押さえておかないといけないか確認しておきましょう。

関数の定期テスト対策(学年別)

学習内容のポイントを押さえたうえで、それぞれの学習ポイントにあわせた定期テスト対策の仕方をお伝えします。

(単元・学習内容の名称は啓林館「新学習指導要領における算数・数学内容系統一覧表」より)

中学1年生:比例・反比例の定期テスト対策

まず中学1年生の定期テスト対策の仕方をお伝えします。

比例・反比例のポイント

中学1年では、「比例・反比例」を習います。

学習内容は下記のとおりです。

学習内容ポイント
関係関数の意味関数とは何か
比例・反比例の意味比例・反比例それぞれの使う場面の違い
座標の意味x座標、y座標の位置と、
式を活用して座標を求める方法
比例・反比例の特徴比例・反比例それぞれのグラフを書く
比例・反比例を用いること比例・反比例を用いた文章題を解く

このポイントを意識しながらテスト勉強をしましょう。

比例・反比例の勉強の仕方

学習ポイントごとに定期テスト対策の仕方をお伝えします。

【関係関数、比例・反比例、座標】

解き方のポイントを3つお伝えします。

①比例・反比例の式の違いを覚える

比例:y=ax
反比例:y=a/x
※aは比例定数

②式をつくる目的を確認

「yの値を求めるために式をつくる」
ということを忘れないようにしてください。

yはわかっているけどxがわからない問題も出てきますが、基本形は「yを求める式」です。

基本形を押さえておけば、
「その基本形とどう違うのか」
を考えれば、応用問題も解けるようになります。

ベースを決めておいて、
問題のバージョンによってベースとの違いを考えるようにします。

また、x座標やy座標を求める問題も出てきますが、式を使えば計算で求められます。

③解法を整理しながら問題演習する

比例・反比例は問題の種類が豊富です。

下記の2種類を両方実践すると、ややこしくなってきても頭のなかを整理できます。

  • 特定の範囲ごとに演習
  • 複数の範囲をランダムに演習
【比例・反比例】

この学習範囲のポイントは2つです。

①グラフを手書きできるようにする

比例・反比例のグラフを書く問題が出てきます。

最初は定規を使って丁寧に書き、
慣れてきたら定規を使わずにフリーハンドで書けるようにしましょう。

この後に出てくる文章題はグラフを描けるようにすると解きやすくなります。

座標平面がなくても、白紙に手書きできるよう何度も練習しておきましょう。

②2つの座標の距離を出す

2つの座標間の距離の求め方は下記のとおりです。
しっかり覚えておきましょう。

(例)
x座標が同じ:A(2, 3)  B(2, 5)
→ y座標どうしを引き算する:5-3=2
x座標が同じ:A(2, 3)  B(4, 3)
→ x座標どうしを引き算する:4-3=1

【比例・反比例を用いること】

この学習範囲のポイントは2つです。

①比例・反比例のどちらを使うかの選択

一方の数字が2倍、3倍になるともう一方の数字は、
比例では2倍、3倍と変化し、
反比例では1/2倍、1/3倍と変化します。

この点を踏まえて問題にのぞみましょう。

②何をxとyにするかの選択

式を解くことに集中すると、
「この問題は何を聞いているのか」
を忘れてしまいがちです。

求めるべき数字と、何をx・yにしたのか、
問題文に線を引いて確認できるようにしておきましょう。

中学2年生:一次関数の定期テスト対策

つづいて、中学2年生の定期テスト対策の仕方をお伝えします。

2学期中間テスト/前期期末テストから2学期期末テスト/後期中間テストまでで出題されます。

一次関数のポイント

中学2年では、「一次関数」を習います。

学習内容は下記のとおりです。

学習内容ポイント
事象と一次関数y=ax+bの式と、a・bの意味
一次関数の特徴・グラフを描く
・グラフから式を求める
二元一次方程式と関数二つのグラフの交点の座標を求める
一次関数を用いること一次関数を用いて文章題・図形の問題を解く。
特に、点が移動する問題がポイント。

2年生で習う内容は高校入試でもよく出題されます。

しっかり復習しておきたいですね。

一次関数の勉強の仕方

学習ポイントごとに定期テスト対策の仕方をお伝えします。

【事象と一次関数】

変化の割合と切片の意味を自分の言葉で言えるようにしておきましょう。

y=ax+bの式で、用語とその意味は下記のとおり。

a:変化の割合
→ xが1増えると、yがいくつ増えるか

b: 切片
→ スタート地点(のようなもの)

変化の割合の求め方は公式で覚えるほうが早いのですが、上記のように「意味」で覚えるほうがおすすめです。

暗記したものは、学習内容が進むと忘れてしまいがちです。

意味をきっちり押さえておきましょう。

ちなみに、
変化の割合=yの増加量÷xの増加量

【一次関数の特徴、二元一次方程式と関数】

手書きでグラフを描けるようにしておきましょう。

また、交点の座標を求めるのは、連立方程式にするだけです。

一次関数は次々に問題の種類が変わるのでややこしくなりますが、1つ1つポイントをクリアしていくと、実は解法がシンプルな単元です。

複数の範囲をランダムに解いて練習すると、早く慣れます。

【一次関数を用いること】

基本問題は式さえ立てれば正解できます。

「何をxとyに当てはめるか」
がポイントです。大量の問題で使って、式を立てる練習ばかりすると早く慣れられます。

また、点の移動は図形問題でも文章題でも考え方は同じです。

  • 点aが何秒後に端につくか
  • その間にもう一方の点はどこまで進むか

この2点さえ押さえておけば、以降の解き方はほとんどの問題で同じです。

中学3年生:二次関数の定期テスト対策

つづいて、中学3年生の定期テスト対策の仕方をお伝えします。

2学期中間テスト/前期期末テストから2学期期末テスト/後期中間テストまでで出題されます。

二次関数のポイント

中学3年では、「二次関数」を習います。

学習内容は下記のとおりです。

学習内容ポイント
事象と関数y=ax2一次関数との違いを知る
いろいろな事象と関数文章題を解く
関数y=ax2の特徴・二次関数のグラフを描く
・二次関数のグラフから式を求める
関数y=ax2を用いること・点が移動する問題
・一次関数と二次関数のグラフが交わる問題

二次関数の勉強の仕方

学習ポイントごとに定期テスト対策の仕方をお伝えします。

【事象と関数y=ax2

ポイントは「二乗の計算」です。

 y=3×2の式でxが「-2」だとすると、
 y=3×(-2)×(-2)
 y=3×4
 y=12
になります。プラスやマイナスも一緒に2乗するのを忘れずに!

【いろいろな事象と関数】

計算方法は前項と同じなので、

二次関数の式さえ作れれば高確率で解けます。

式を立てる練習ばかりたくさんするのもおすすめです。

【関数y=ax2の特徴】

ポイントは「グラフを手書きできるようにすること」です。

「白紙」に「手書き」でグラフを書く練習をたくさんしておきましょう。

また、
変化の割合=yの増加量÷xの増加量
です。

計算に集中していると、グラフ上でどちらがx軸・y軸かややこしくなるときもあります。

そんなときは、指さし確認をしながら問題を解くのがおすすめです。

【関数y=ax2を用いること】

点が移動する問題は下記のように考えると解きやすくなります。

  • 点aが何秒後に端につくか
  • その間にもう一方の点はどこまで進むか

この2点さえ押さえておけば、以降の解き方はほとんどの問題で同じです。

また、一次関数と二次関数の交点の座標は連立方程式で求めます。

これは、中2の一次関数と同じ方法です。

この方法を利用して、交点2つとグラフの原点をむすんでできる三角形の面積を求める問題が出てきます。

関数なのに突然、面積の問題が出てきてびっくりするかもしれません。

おさらいをしておきます。

三角形の面積は、
「底辺」×「高さ」×1/2
でしたね。

 ①-1. x座標かy座標で同じ位置にある2点を探す
 ①-2. その2点間の距離を底辺にする
 ②-1. 底辺と、別の点との距離を求める
 ②-2. その距離を高さにする

この4つの手順で底辺と高さを決めて、三角形の面積を求めるようにしましょう。

定期テスト目標点数別の数学の勉強スケジュール

定期テスト対策の勉強スケジュールを目標点数別にお伝えします。

定期テスト対策は、「広く」勉強するのがおすすめです。

特定単元をヤマ勘で勉強するのは効率よくありませんので、ご注意ください。

平均点を目指す場合の勉強スケジュール

学校の授業に合わせて提出課題(ワーク)を進めましょう。

後でまとめて勉強すると、
暗記が多くなって追い付かなくなります。

授業で習ってすぐ提出課題で復習するだけでかなり記憶に残ります。

テスト1週間前までそれを続け、
ラスト1週間でもう1周しましょう。

提出課題とは別に教科書準拠の問題集を使うと、20点前後はアップします。

  • 学校の授業があった日に提出課題で復習
  • テスト1週間前から市販教材でもう1周

「数と式」のおすすめの問題集

「関数」を解けるようにするには、
「数と式」で習う計算の習得が必須です。

ここで紹介する問題集を毎日解いて、計算に慣れておきましょう。

『できた!数学 関数・図形・データの活用(中1~中3)』

最初に紹介するのはくもんの「できた!」シリーズです。

学年ごとに、学校で習う順番どおり前半と後半に2冊ずつに分かれています。定期テストの問題と同じレベルの演習問題が並んでおり、テスト対策に使いやすいです。

こちらで紹介しているのは「後半部分」です。

中1向け↓


できた!中1数学 関数・図形・データの活用 (中学基礎がため100%)

中2向け↓


できた!中3数学 図形・データの活用 (中学基礎がため100%)

中3向け↓


できた!中3数学 図形・データの活用 (中学基礎がため100%)

出版社:くもん出版
難易度:易~標準(★★☆)

特徴:

〔本書のねらい〕
基礎・基本が最初の一歩からよくわかるくもん独自のステップで,解きながら学ぶことができます。また,4択クイズアプリにより,テスト前にスマホで5教科の要点チェックができます。

〔学習内容・特徴〕
①基礎からのスモールステップと反復練習により,無理なく学習が進められます。
②豊富な練習量でなめらかなステップを実現することで,基礎力を確実に身につけます。
③未知のことを一方的に「教わる」のではなく,「例」や「空欄問題」を見て解き進めながら,自ら学びとることができます。
④発展的な問題も含んでいるので,高校入試対策の第1段階としてのベース作りができます。
⑤見やすい2色の解答・解説で「考え方」を確認し,理解を深めます。

くもん出版より引用
『中学定期テスト 得点アップ問題集 改訂版(中1~中3)』

つづいては旺文社の「得点アップ問題集」シリーズです。こちらも定期テストの問題と同じくらいの問題集演習が並んでいます。

特徴は、テスト前の1週間で対策できるような分量にしているという点です。

1日ごとにこのページを勉強しましょうと分けてくれており、「どこから勉強すればいいか」「どれくらい勉強すればいいか」を考える必要がありません。

中1向け↓


中学定期テスト 得点アップ問題集 中1数学 改訂版

中2向け↓


中学定期テスト 得点アップ問題集 中2数学 改訂版

中3向け↓


中学定期テスト 得点アップ問題集 中3数学 改訂版

出版社:旺文社
難易度:易~標準(★★☆)

特徴:

中学校の定期テスト対策を、1日30分×7日間を目安として短期完成できる問題集です。

■各単元の構成は、STEP1要点チェック・STEP2基本問題・STEP3得点アップ問題の3ステップで、段階的に定期テストの得点力が身につきます。
STEP1 要点チェック  単元の大事な学習ポイントをまとめています。
STEP2 基本問題    基本的な問題で単元の内容を確認できます。
STEP3 得点アップ問題 定期テストの問題形式にならった単元の総仕上げ問題です。

■スケジュールの目安が示してあるので、定期テストの範囲を1日30分×7日間で、計画的にスピード完成できます。
■コンパクトで持ち運びしやすい別冊「+10点暗記ブック」&赤セルシートで、いつでもどこでも、テスト直前まで大切なポイントを確認できます。

旺文社より引用

80点以上を目指す場合の勉強方法

80点以上を目指すなら、
応用問題を解けるかどうかがポイントになります。

前述の学習ポイントをすべて押さえておくと80点を取る実力が身につきます。

テストでミスをしない・制限時間内に解く力を養いましょう。

学校で習った日に提出課題を進めます。

提出課題よりもハイレベルな問題集を1冊準備しておきましょう。

テスト2週間前になったらそのハイレベルな問題集をスタートします。

テストまでにテスト範囲を2周しておきましょう。

  • 学校の授業があった日に提出課題で復習
  • テスト2週間前からハイレベルな市販教材でさらに2周

数学のおすすめのハイレベル問題集

80点以上を目指す人におすすめの定期テスト対策用の問題集を紹介します。

『チャート式 中学数学』(中1~中3)

最初は「チャート式」です。

参考書編と問題集編に分かれており、参考書編は単元のポイントを丁寧に解説して理解しやすくしています。参考書編をみながら問題集編を解くと、「どこを参照すれば良いか」が分かりやすく勉強しやすいです。

どの学年も1冊200ページ以上もあり、問題量が豊富です。

中1:参考書編↓


チャート式 中学数学 1年

中1:問題集編↓


チャート式 中学数学 1年 準拠ドリル (チャート式・シリーズ)

中2:参考書編↓


チャート式 中学数学 2年

中2:問題集編↓


チャート式 中学数学 2年 準拠ドリル (チャート式・シリーズ)

中3:参考書編↓


チャート式 中学数学 3年

中3:問題集編↓


チャート式 中学数学 3年 準拠ドリル (チャート式・シリーズ)

出版社:数研出版
難易度:標準~難(★★★)

特徴:

日常学習から入試対策まで充実の1冊!

教科書の内容からていねいに説明し,公立高校入試レベルまで着実に力をつけることができる参考書。
考え方や問題の着眼点,注意事項などをていねいに説明し,思考力を養うことができる。単元の要点を説明する解説動画や,計算問題をカード形式で反復練習できる計算カードなど,デジタルコンテンツを利用した学習ができ,自学自習にも最適。入試対策編では入試頻出の問題をおさえてから,入試レベルの問題に取り組むことができる。
数学を苦手にしている中学生から実力UPを目指す中学生まで多くの中学生にオススメ。

数研出版より引用

『最高水準問題集 特進 中1/中2/中3数学』

つづいては「最高水準問題集」です。

タイトルどおり、難易度の高い問題中心の問題集です。定期テストで出てこないようなハイレベルな問題も掲載されています。

そうした発展問題も解けるようにしておくと、定期テストでミスをしにくくなります。

中1用はコチラ↓


最高水準問題集 特進 中1数学

中2用はコチラ↓


最高水準問題集 特進 中2数学

中3用はコチラ↓


最高水準問題集 特進 中3数学

出版社:文英堂
特徴:

難関高校の入試問題で実力強化
国立・私立難関高校の入試問題から質の高い良問を精選しました。トップレベルの実力を身につけることができます。

難問・超難問も多数掲載
私立難関高校で出題された難問・超難問も多数掲載しています。超難関高校の入試対策は万全です。

選択学習しやすい表示
各問題には1~3個の★でレベルを表示しています。また、入試によく出る問題には「頻出」マーク、とくに難しい問題には「難」マークをつけています。学習時間・実力に合わせた使い方ができます。

文英堂より引用

比例・反比例と関数の高校入試対策の仕方

入試対策に本格的に入るのは中学3年生からという人が多いと思います。

そのときには、以前習った内容を少し忘れてきています。

下記の順に勉強するとスムーズです。

①前学年までの復習として単元別に演習する
②総合問題や入試頻出問題で勉強する

たいていの入試対策問題集は、
この①→②の順に勉強するようにできています。

入試頻出パターンごとに勉強する

入試問題は出題パターンが限られています。

基本問題は出ないので、
単元別の復習をしたら早速入試対策に入りましょう。

頻出パターンごとの勉強方法をお伝えします。

放物線と直線の面積の解き方

下記のグラフをご覧ください。色塗りされている三角形の面積を求める問題がよく出ます。

数スタより

一次関数と二次関数のグラフが点Aと点Bで交わり、辺ABがy軸と交わっています。

辺ABとy軸との交点の座標は連立方程式で求められます。
※「交点」はすべて連立方程式で求めます

交点の座標を求める問題は、
入試では(1)で出てくることがよくあります。

確実に正解しておきたいですね。

面積については中3で習った方法を使い、下記の4つの手順で解きます。

 ① y軸と辺ABの交点をPとし、点Pの座標を求める。
 ①辺OPを境にして点A側と点B側の2つの三角形にわける
 ③辺OPを底辺にして、底辺とそれぞれの三角形の高さ(x座標)を求める
 →点A側の三角形の高さ:2
 →点B側の三角形の高さ:4
 ④△OAPと△OBPの面積を足す

正方形・長方形の座標・面積の解き方

数スタより

小問2-3つで出てくるパターンが多いです。

(1)辺の長さを求める
(2)面積を求める
のように、小問にわかれます。

解法ポイントは、
「交点の座標から辺の長さを求めること」
です。

「(1)辺の長さ」は交点の座標から求めます。

交点の座標は、前項でもお伝えしたように連立方程式で求めます。

「(2)面積」は辺の長さがわかれば求められます。

面積の求め方は下記のとおりですね。
長方形:縦×横
正方形:1辺×1辺

長方形は縦と横の2種類の長さを求める必要がありますが、
正方形は1辺さえわかればOKです。

等積変形の解き方

下記のグラフをご覧ください。

X軸上にある点Pを考え、
△OABと△OBPの面積が等しくなるような点Pの座標を求めます。

数スタより

中1で習った平行線の性質で、
「2本の平行線で作られた三角形は、底辺が同じなら面積も同じ」
という性質がありました。

この性質を利用して、下記の手順で解きます。

①点Aを通り、辺OBに平行な直線を引く
(この直線とx軸の交点を点Pにする)

②原点Oと点Bを結ぶ直線の傾きを求める
(この場合、1になる)

③直線APの式をつくる
→ y=ax+b
傾きが1なので、a=1
→ y=x+b
傾きが1なので、y軸と交わる点のy座標は6になる
→ y=x+6

④点Pのx座標を求める
→ 0=x+6
→ x=-6
→ 点P(-6, 0)とわかる

「面積が等しくなるような~を求めよ」
と出てきたら、等積変形です。

上記のように平行線の性質を利用して解きましょう。

総合問題・過去問演習をする

単元別・頻出問題別に演習をしたら、
いよいよ総合問題や過去問で演習しましょう。

総合問題演習の仕方

複数の単元をまとめた問題の演習です。

各問題集の最後に掲載されているか、
分厚い問題集だと2-3つの単元ごとに復習問題として掲載されています。

【目的】
単元ごとの知識を整理してアウトプットできる力を養う。

【おすすめの学習量】

少なくとも5回分は解きましょう。

【ワンポイント】
複数単元を1度に解こうとすると、解き方を思い出すのに苦労することがあります。

下記の順に演習してみましょう。

  1. 苦労した単元を軽く復習
  2. 再度、同じ総合問題を解く
おすすめの総合問題集

総合問題集は、志望校の難易度にあうものを選びましょう。

  • 偏差値55くらいまで
  • 偏差値55以上のハイレベル

にわけて問題集を紹介します。

〇偏差値55くらいまで

偏差値55くらいまでの中堅校の対策に便利な問題集を2冊紹介します。

『高校入試「解き方」が身につく問題集 数学』

数学は解法だけでなく「なぜその解き方をするのか?」という「考え方」を大事にすると伸びやすくなります。

この問題集はそういう「解き方(考え方)」をしっかりと解説してくれている問題集です。

ほかの問題集で「解説を読んでも、解く手順は分かるけどなぜそう解くのかピンとこない」という人におすすめです。


高校入試「解き方」が身につく問題集 数学

出版社:旺文社
特徴:

「暗記では解けない問題の解き方」を身につける!

★「出題頻度が高い」&「解き方にコツがある」問題をマスターして得点アップ!
公立高校入試の問題は、難度の幅が広く、暗記で解ける問題と解き方(考え方)が必要な問題があります。一部の問題は演習量よりも、解き方を押さえてから演習したほうが効率的に点数を上げることができます。本書で選んだ問題をマスターすることで、入試の得点アップにつながります。

★徹底的に「解き方」に焦点を当てた解説!
「例題」「解き方チェック問題」「実践問題の解答解説」のすべてで「解き方」のチェックポイントに沿った解説をしています。

旺文社より引用
『きちんとこれだけ公立高校入試対策問題集 数学』

こちらの問題集は、「公立高校入試向けに標準レベルの問題ばかり」を集めた問題集です。

入試数学では難易度の高い問題も出てきますが、ライバルと差が開くのはむしろ「標準レベルの問題」です。50%以上の受験生が正解できるレベルの問題を100%正解すれば、それだけでライバルより10点程度高い点数を取れます。


きちんとこれだけ公立高校入試対策問題集 数学 改訂版

出版社:旺文社
特徴:

全国の公立高校入試の配点データを分析し、中配点・中難度の過去問に厳選した問題集です。学習効果が最も出やすい「標準問題」を確実に解く力をつけることを目的として、各課を「要点まとめ + 過去問演習」で構成し、理解と定着を交互に行うことができます。

以下のような方に特におすすめです。
・公立高校を第一志望にしている。
・基本事項ならある程度は覚えている。
・全範囲をまんべんなく解けるようになりたい。
・1冊の問題集をやり切って実力をつけたい。

旺文社より引用

〇偏差値55以上

偏差値55以上で、特に難関高を志望している人向けに2種類問題集を紹介します。

『チャート式 難関校受験対策 ハイレベル中学数学問題集』

人気のチャート式問題集で、2023年10月発売のまだかなり新しい問題集です。

公立高校入試レベル~難関国公立・私立高校入試レベルまでカバーしています。

全50回のテストで段階的に学力を伸ばせる設計なので、何度も間違う苦手単元の発見にも役立ちます。


チャート式 難関校受験対策 ハイレベル中学数学問題集

出版社:数研出版
特徴:

難関高校を受験する人に最適な、入試本番を見据えた実戦的な問題集。
問題はランダム配列で、1回5問の実戦テスト形式です。目安時間もあるため、本番を意識した実戦的な勉強ができます。問題のレベルによって「標準」「発展」「難関」の3段階のコースに分かれており、実力に応じた演習が可能です。標準は15回分の公立高校入試レベル、発展は15回分の中堅私立高校入試レベル、応用は20回分の難関国公立・私立高校入試レベルの問題を掲載しています。別冊解答編には、問題の答のほか問題の考え方や詳しい解説を掲載しています。解法の過程を確実に押さえることで、難問に対するアプローチの仕方が身につきます。本冊112ページ、解答編152ページ。

Amazonより引用
『最高水準問題集 高校入試 数学』

この問題集は難関国立・難関私立高校入試対策の定番です。

発展問題中心に構成されており、定期テストで80点以上を取っている人でようやく少しずつ使いこなせるレベルです。

各問題に「難」「頻出」「新傾向」とマークをつけてくれているので、自身の志望校の入試問題にあわせて選択できます。

単元別問題で弱点を補強しておき、
チェックを兼ねて総合問題で仕上げができます。

難問ぞろいなので、初見で解けない問題もたくさんあります。


最高水準問題集 高校入試 数学

出版社:文英堂
特徴:

過去の入試問題を徹底分析
国立・私立難関高校の入試問題を全分野から厳選。よく出る問題には「頻出」マークを、特に難しい問題には「難」マークをつけて、問題を解きながら、問題のレベルや傾向がわかるように配慮しました。

重点的に強化できる単元別の配列
各自の学習計画に合わせてどこからでも学習できます。また弱点分野の補強や、入試直前の重点演習もできます。

入試対策総仕上げのための模擬テスト
入試本番を想定した模擬テストを巻末につけました。志望校突破のための最終チェックができます。

文英堂より引用

※関連記事:数学80点以上の人向けおすすめ問題集と勉強方法

過去問演習の仕方

総合問題演習が終わったら過去問演習に入りましょう。

過去問ばかり集めた問題集を使います。

【目的】
入試で1点でも高く取れるように練習する。

【おすすめの学習量】

少なくとも5回分は解きましょう。

【ワンポイント】
下記の2点を実践してみましょう。

  • 制限時間を設定する
  • 解きながら時計を見て、残り時間で解く問題を考える

制限時間内に1点でも高い点数を取れるようにします。

大問を1つ解くごとに時計を確認し、
残り時間でどの問題を解けば少しでも高い点数を取れるかシミュレーションを繰り返しましょう。

おすすめの過去問題集

中学3年生の長期休み(春・夏・冬)には、
高校入試対策をしておきましょう。

おすすめの高校入試過去問題集を2冊紹介します。

『全国高校入試問題正解 分野別過去問』

高校入試対策にはやはり「過去問」が欠かせません。ただ、いきなり過去問を通しで解いても単元によっての得意・不得意があると、うまく過去問で点が取れません。

1年分を解く前に「分野別」に過去問を解いて練習しておくと便利です。

数と式・関数・データ活用↓


2024年受験用 全国高校入試問題正解 分野別過去問 747題 数学 数と式・関数・データの活用

図形↓


2024年受験用 全国高校入試問題正解 分野別過去問 444題 数学 図形

出版社:旺文社
特徴:

20-22年の公立高校入試問題を厳選し、分野別に並べ替えた問題集。類似した問題が複数の都道府県で出題されていることが一目瞭然で、出題傾向・出題パターンがわかります。よく出題されている問題を数多くこなすことで、入試に即した対策をすることができます。 ※本書では数と式・関数・データの活用の3分野を収録しています。

Amazonより引用
『全国高校入試問題正解』

分野別の勉強が終われば、1年分を通しで解いてみましょう。


2024年受験用 全国高校入試問題正解 数学

出版社:東京学参
特徴:

2023年高校入試より数学の問題と解答解説を掲載。47都道府県の公立高校と主な国立・私立および高等専門学校を収録。都道府県別・高校ごとに「出題傾向と対策」、問題ごとにくわしい「解き方」を解説。最新の高校入試問題を系統別に分析・学習できる入試対策必須の一冊。思考力を問う問題には、思考力マークを表記。

Amazonより引用

通信教育で勉強を効率良くする

多くの中学生は単元ごとで得意・不得意が分かれます。数学の勉強を効率良くするには、単元ごとの得意・不得意に合わせて問題のレベルを変えるのがおすすめです。

大手の通信教育なら問題の正解・不正解に応じて「解くべき問題」を提示してくれる機能があります。

大手の通信教育なら問題の正解・不正解に応じて「解くべき問題」を提示してくれる機能があります。定期テストにも高校入試にも対応しており、難関校入試専用の講座も備えています。

月2,178円で受け放題のスタディサプリ

勉強を得意にするには「分かりやすい授業」を「何度も受けること」が近道です。

スタディサプリは高品質な授業動画に加えて10万問以上の演習問題があり、月10,780円で個別指導も受けられます。

くわしくは、スタディサプリ中学講座の特徴と効果的な活用法で紹介しています。

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受講者数No. 1の進研ゼミ

やはり通信教育といえば進研ゼミです。受講者数No. 1で、昔から高校受験対策に定評があります。

高校入試情報をタイミングよく配信してくれますし、苦手克服から難関校対策まで幅広いレベルに対応しています。解説動画を学校の予習代わりに使って1日15~30分の勉強で高得点をねらうことも可能です。

くわしくは、進研ゼミ中学講座の特徴と効果的な利用法で紹介しています。

※下記のPRリンクから無料体験授業を申し込めます。

進研ゼミの無料体験はこちら

数学のおすすめのアプリ

アプリはちょっと調べたいときに、手軽に勉強に使えます。

数学公式集

Appストアでみる
Google Playでみる
評価:Appストア4.6、Google Play4.3
ダウンロード数:10万以上
課金要素:無料
※広告表示あり

スクリーンショット:

特徴:

中学数学、高校数学の重要公式をカンタンに確認できるアプリが新登場!
各公式ページについている、公式の利用シーン、公式の覚え方・使い方などの、お役立ち解説は必読!
このアプリで中学数学、高校数学の重要公式をしっかり確認しよう!

公式は、中学数学(数と式、関数、図形)、高校数学(数学Ⅰ、数学A、数学Ⅱ、数学B、数学Ⅲ)の分野別に収録。
アプリ内の検索機能で公式を検索することもでき、とても便利です。

本アプリ「数学公式集(中学数学・高校数学の公式解説集)」は無料です。

収録内容について何かあれば、アプリ内のお問い合わせからご連絡ください。

Appストアより引用

【おすすめする理由】
ふと公式を忘れたときに役立ちます。

公式の使い方も解説してくれます。

無料で利用できるのもありがたいです(広告表示あり)。

数学トレーニング(中学1年・2年・3年の数学計算勉強アプリ)

Google Playでみる
評価:4.4
ダウンロード数:50万以上
課金要素:無料
※広告表示あり

スクリーンショット:

特徴:

中学生の数学・計算の勉強にピッタリの無料学習アプリ。
方程式や関数、図形や確率など、中学校で学ぶ様々な分野の計算問題に挑戦しよう。
また、小数や分数などの復習問題も収録しています。

問題は、中学校の学年に対応した以下のレベルに分けて収録しています。
・中学1年レベル
・中学2年レベル
・中学3年レベル
・(復習)小学4年レベル
・(復習)小学5年レベル
・(復習)小学6年レベル

問題画面に指で途中計算を書くことができます。
広いスペースに書きたい場合は、緑色の「メモ帳とペン」ボタンを押してください。

本アプリ「数学トレーニング(中学1年・2年・3年の数学計算勉強アプリ)」は全ての問題を無料でご利用頂けます。

本アプリは、広告ネットワークから配信を受け広告を表示します。
もし間違いや不具合などがございましたら、アプリ内の「お問い合わせ」からご連絡ください。

Google Playより引用

【おすすめする理由】

関数は計算力をベースにして解きます。

特に連立方程式は交点の座標を求めるのに必須です。

計算力に不安のある人は、毎日練習する時間をつくりましょう。

まとめ

いかがでしょうか。

「関数」は定期テストでも高校入試でも重要な分野です。

「数と式」の力が土台にもなるため、
「数と式」「関数」の両方の分野の勉強が必要です。

※関連記事:高校受験によく出る数学の文章問題

応用問題になると解法がワンパターンになりがちなので、得点源にしやすい分野でもあります。

この記事で紹介した定期テスト・高校入試の勉強方法を使って、関数分野をぜひ得意にしてしまいましょう。

関数以外の勉強の仕方をこちらの記事で紹介しています。
※関連記事:平面図形・空間図形の解き方
※関連記事:確率の解き方

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