【中学数学】比例・反比例と関数の問題の解き方：定期テストや高校入試の対策方法とおすすめの問題集を紹介

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「中1の反比例あたりからややこしい」
「関数と図形の融合問題がわからない」
「習えば習うほど、自分が何を解いているのかわからなくなる」

このような悩みを感じていませんか？

比例・反比例や関数を苦手にしている中学生は多いです。

計算・文章題・グラフと問題の種類がたくさんあるため、こんがらがってしまいますよね。

※ピンポイントに対策するならオンライン学習塾が便利です。こちらの記事でおすすめのオンライン学習塾と、オンライン学習塾に合う子の特徴を解説しています。

ですが、関数は高校入試でも重要単元です。配点も大きいので、関数で点を取れるかどうかが入試結果に影響しかねません。

自信を持って解けるようにしておきたいですね。

そこで、数学の「比例・反比例」「一次関数・二次関数」「関数と図形の融合問題」がわかるようになる勉強の仕方を紹介します。

※関連記事：平面図形・空間図形の解き方
※関連記事：確率の解き方
※関連記事：高校受験によく出る数学の文章問題

苦手分野を1つでも克服して、
数学を得意科目にしたいですね。

この記事は下記の方向けです。

関数分野の定期テスト対策を知りたい方
高校入試に向けて関数分野を克服したい方

関数とは何か
関数の重要性は？
1. ほかの単元とのつながりは？
学年別の定期テスト対策
定期テスト目標点数別の勉強スケジュール
1. 平均点を目指す場合の勉強スケジュール
  1. 「数と式」のおすすめの問題集
  2. 「関数」のおすすめの問題集
2. 80点以上を目指す場合の勉強方法
  1. おすすめのハイレベル問題集
高校入試対策の仕方
1. 頻出パターンごとの勉強方法
2. 総合問題・過去問演習
  1. 総合問題演習
    1. おすすめの総合問題集
  2. 過去問演習
    1. おすすめの過去問題集
おすすめのアプリ
1. 数学公式集
2. 数学トレーニング（中学1年・2年・3年の数学計算勉強アプリ）
まとめ
1. 関連

関数とは何か

まず、関数について軽くおさらいしましょう。

関数とは、

「2つの数字があり、一方の数字（x）が変化すると、それにあわせてもう一方の数字（y）も規則的に変化すること」

です。

xが決まるとyも決まる場合、
「yはxの関数である」
と言います。

たとえば、
　y=2x+1
のような式で表されます。

この式の場合、xの値が決まるとyの値も計算して求めることができます。

表にすると下記のようになります。

	x=1	x=2	x=3	x=4
yの値	2×1+1=3	2×2+1=5	2×3+1=7	2×4+1=9

表をご覧いただくと、下記の2点がわかると思います。

xが1増えると、yが2増える
yの増えた分に「+1」している

「xが1増えるとYがいくつ増えるのか」を
「変化の割合」と言います。

「yの増えた分にいくつ足すのか（減らすのか）」を
「切片」と言います。

「比例・反比例」には「切片」がありません。

関数は、この式を立ててxやyの値を求めたり、この式をもとにグラフを描いたりします。

基本的な内容ですが、ここを押さえておくだけで関数はわかりやすくなります。

関数の重要性は？

定期テストや高校入試で、
関数はどれくらい重要な分野なのでしょうか。学校の授業で関数分野はどれくらい扱うのでしょうか。

学校の年間カリキュラムの標準的な時間数を表にまとめました。

	年間授業時間数	関数分野	関数分野の授業時間数	関数分野に使う授業時間割合
中学1年生	140時間	比例・反比例	20時間	14%
中学2年生	105時間	一次関数	20時間	19%
中学3年生	140時間	二次関数	18時間	13%

学校図書・年間指導計画案をもとに作成

学年によって多少の差はありますが、
年間15%前後ほどの授業時間数を関数分野に使っています。

高校入試ではどれくらいの配点になっているのかも確認します。

公立入試問題は都道府県単位で異なりますので、ここでは都立高入試でみてみます。

満点	90点
関数の配点	15点
関数の配点割合	17%

高校入試での関数の配点は17%となっており、学校の授業時間数の割合（15%前後）とほぼ同じです。

授業で時間を使っているのと同じくらい、関数は高校入試でも重要だということがわかります。

ほかの単元とのつながりは？

関数がほかの単元とどうつながっているのか確認します。

ご覧のように、「関数」に「数と式」から矢印が下りてきています。

「関数」ができるようになるには、
「数と式」もできるようになっておく必要があるのです。

具体的な単元名を押さえておきます。

（単元名は啓林館「新学習指導要領における算数・数学内容系統一覧表」より）

【中学1年】
「文字を用いた式」と「一元一次方程式」
→　「比例・反比例」につながる

【中学2年】
「文字を用いた式」「連立二元一次方程式」と
「比例・反比例」（中1）
→　「一次関数」につながる

【中学3年】
「一次関数」
→　「二次関数」につながる

こうした単元間のつながりはあなどれません。

たとえば一次関数を解こうとしても、苦手な連立方程式が邪魔をして学習効果があがらないこともあります。

関数が苦手な人は自身の学年をみて、どの単元を先に押さえておかないといけないか確認しておきましょう。

学年別の定期テスト対策

学習内容のポイントを押さえたうえで、それぞれの学習ポイントにあわせた定期テスト対策の仕方をお伝えします。

（単元・学習内容の名称は啓林館「新学習指導要領における算数・数学内容系統一覧表」より）

中学1年生の定期テスト対策

まず中学1年生の定期テスト対策の仕方をお伝えします。

2学期中間テスト/前期期末テストから2学期期末テスト/後期中間テストまでで出題されます。

学習内容のポイント

中学1年では、「比例・反比例」を習います。

学習内容は下記のとおりです。

学習内容	ポイント
関係関数の意味	関数とは何か
比例・反比例の意味	比例・反比例それぞれの使う場面の違い
座標の意味	x座標、y座標の位置と、式を活用して座標を求める方法
比例・反比例の特徴	比例・反比例それぞれのグラフを書く
比例・反比例を用いること	比例・反比例を用いた文章題を解く

このポイントを意識しながらテスト勉強をしましょう。

定期テスト対策の仕方

学習ポイントごとに定期テスト対策の仕方をお伝えします。

【関係関数、比例・反比例、座標】

解き方のポイントを3つお伝えします。

①比例・反比例の式の違いを覚える

比例：y=ax
反比例：y=a/x
※aは比例定数

②式をつくる目的を確認

「yの値を求めるために式をつくる」
ということを忘れないようにしてください。

yはわかっているけどxがわからない問題も出てきますが、基本形は「yを求める式」です。

基本形を押さえておけば、
「その基本形とどう違うのか」
を考えれば、応用問題も解けるようになります。

ベースを決めておいて、
問題のバージョンによってベースとの違いを考えるようにします。

また、x座標やy座標を求める問題も出てきますが、式を使えば計算で求められます。

③解法を整理しながら問題演習する

比例・反比例は問題の種類が豊富です。

下記の2種類を両方実践すると、ややこしくなってきても頭のなかを整理できます。

特定の範囲ごとに演習
複数の範囲をランダムに演習

【比例・反比例】

この学習範囲のポイントは2つです。

①グラフを手書きできるようにする

比例・反比例のグラフを書く問題が出てきます。

最初は定規を使って丁寧に書き、
慣れてきたら定規を使わずにフリーハンドで書けるようにしましょう。

この後に出てくる文章題はグラフを描けるようにすると解きやすくなります。

座標平面がなくても、白紙に手書きできるよう何度も練習しておきましょう。

②2つの座標の距離を出す

2つの座標間の距離の求め方は下記のとおりです。
しっかり覚えておきましょう。

（例）
x座標が同じ：A(2, 3) B(2, 5)
→　y座標どうしを引き算する：5-3=2
x座標が同じ：A(2, 3) B(4, 3)
→　x座標どうしを引き算する：4-3=1

【比例・反比例を用いること】

この学習範囲のポイントは2つです。

①比例・反比例のどちらを使うかの選択

一方の数字が2倍、3倍になるともう一方の数字は、
比例では2倍、3倍と変化し、
反比例では1/2倍、1/3倍と変化します。

この点を踏まえて問題にのぞみましょう。

②何をxとyにするかの選択

式を解くことに集中すると、
「この問題は何を聞いているのか」
を忘れてしまいがちです。

求めるべき数字と、何をx・yにしたのか、
問題文に線を引いて確認できるようにしておきましょう。

中学2年生の定期テスト対策

つづいて、中学2年生の定期テスト対策の仕方をお伝えします。

2学期中間テスト/前期期末テストから2学期期末テスト/後期中間テストまでで出題されます。

学習内容のポイント

中学２年では、「一次関数」を習います。

学習内容は下記のとおりです。

学習内容	ポイント
事象と一次関数	y=ax+bの式と、a・bの意味
一次関数の特徴	・グラフを描く・グラフから式を求める
二元一次方程式と関数	二つのグラフの交点の座標を求める
一次関数を用いること	一次関数を用いて文章題・図形の問題を解く。特に、点が移動する問題がポイント。

2年生で習う内容は高校入試でもよく出題されます。

しっかり復習しておきたいですね。

定期テスト対策の仕方

学習ポイントごとに定期テスト対策の仕方をお伝えします。

【事象と一次関数】

変化の割合と切片の意味を自分の言葉で言えるようにしておきましょう。

y=ax+bの式で、用語とその意味は下記のとおり。

a：変化の割合
→　xが1増えると、yがいくつ増えるか

b：切片
→　スタート地点（のようなもの）

変化の割合の求め方は公式で覚えるほうが早いのですが、上記のように「意味」で覚えるほうがおすすめです。

暗記したものは、学習内容が進むと忘れてしまいがちです。

意味をきっちり押さえておきましょう。

ちなみに、
変化の割合＝yの増加量÷xの増加量

【一次関数の特徴、二元一次方程式と関数】

手書きでグラフを描けるようにしておきましょう。

また、交点の座標を求めるのは、連立方程式にするだけです。

一次関数は次々に問題の種類が変わるのでややこしくなりますが、1つ1つポイントをクリアしていくと、実は解法がシンプルな単元です。

複数の範囲をランダムに解いて練習すると、早く慣れます。

【一次関数を用いること】

基本問題は式さえ立てれば正解できます。

「何をxとyに当てはめるか」
がポイントです。大量の問題で使って、式を立てる練習ばかりすると早く慣れられます。

また、点の移動は図形問題でも文章題でも考え方は同じです。

点aが何秒後に端につくか
その間にもう一方の点はどこまで進むか

この2点さえ押さえておけば、以降の解き方はほとんどの問題で同じです。

中学3年生の定期テスト対策

つづいて、中学3年生の定期テスト対策の仕方をお伝えします。

2学期中間テスト/前期期末テストから2学期期末テスト/後期中間テストまでで出題されます。

学習内容のポイント

中学3年では、「一次関数」を習います。

学習内容は下記のとおりです。

学習内容	ポイント
事象と関数y=ax²	一次関数との違いを知る
いろいろな事象と関数	文章題を解く
関数y=ax²の特徴	・二次関数のグラフを描く・二次関数のグラフから式を求める
関数y=ax²を用いること	・点が移動する問題・一次関数と二次関数のグラフが交わる問題

定期テスト対策の仕方

学習ポイントごとに定期テスト対策の仕方をお伝えします。

【事象と関数y=ax²】

ポイントは「二乗の計算」です。

　y=3×2の式でxが「-2」だとすると、
　y=3×(-2)×(-2)
　y=3×4
　y=12
になります。プラスやマイナスも一緒に2乗するのを忘れずに！

【いろいろな事象と関数】

計算方法は前項と同じなので、

二次関数の式さえ作れれば高確率で解けます。

式を立てる練習ばかりたくさんするのもおすすめです。

【関数y=ax²の特徴】

ポイントは「グラフを手書きできるようにすること」です。

「白紙」に「手書き」でグラフを書く練習をたくさんしておきましょう。

また、
変化の割合＝yの増加量÷xの増加量
です。

計算に集中していると、グラフ上でどちらがx軸・y軸かややこしくなるときもあります。

そんなときは、指さし確認をしながら問題を解くのがおすすめです。

【関数y=ax²を用いること】

点が移動する問題は下記のように考えると解きやすくなります。

点aが何秒後に端につくか
その間にもう一方の点はどこまで進むか

この2点さえ押さえておけば、以降の解き方はほとんどの問題で同じです。

また、一次関数と二次関数の交点の座標は連立方程式で求めます。

これは、中2の一次関数と同じ方法です。

この方法を利用して、交点2つとグラフの原点をむすんでできる三角形の面積を求める問題が出てきます。

関数なのに突然、面積の問題が出てきてびっくりするかもしれません。

おさらいをしておきます。

三角形の面積は、
「底辺」×「高さ」×1/2
でしたね。

　①-1. x座標かy座標で同じ位置にある2点を探す
　①-2. その2点間の距離を底辺にする
　②-1. 底辺と、別の点との距離を求める
　②-2. その距離を高さにする

この4つの手順で底辺と高さを決めて、三角形の面積を求めるようにしましょう。

定期テスト目標点数別の勉強スケジュール

定期テスト対策の勉強スケジュールを目標点数別にお伝えします。

定期テスト対策は、「広く」勉強するのがおすすめです。

特定単元をヤマ勘で勉強するのは効率よくありませんので、ご注意ください。

平均点を目指す場合の勉強スケジュール

学校の授業に合わせて提出課題（ワーク）を進めましょう。

後でまとめて勉強すると、
暗記が多くなって追い付かなくなります。

授業で習ってすぐ提出課題で復習するだけでかなり記憶に残ります。

テスト1週間前までそれを続け、
ラスト1週間でもう1周しましょう。

提出課題とは別に教科書準拠の問題集を使うと、20点前後はアップします。

学校の授業があった日に提出課題で復習
テスト1週間前から市販教材でもう1周

「数と式」のおすすめの問題集

「関数」を解けるようにするには、
「数と式」で習う計算の習得が必須です。

ここで紹介する問題集を毎日解いて、計算に慣れておきましょう。

『できた！中１数学　計算（中1～中3）』

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出版社：くもん出版
値段：1,210円（税込）
難易度：易～標準（★★☆）

特徴：

〔本書のねらい〕
基礎・基本が最初の一歩からよくわかるくもん独自のステップで，解きながら学ぶことができます。また，４択クイズアプリにより，テスト前にスマホで５教科の要点チェックができます。

〔学習内容・特徴〕
①基礎からのスモールステップと反復練習により，無理なく学習が進められます。
②豊富な練習量でなめらかなステップを実現することで，基礎力を確実に身につけます。
③未知のことを一方的に「教わる」のではなく，「例」や「空欄問題」を見て解き進めながら，自ら学びとることができます。
④発展的な問題も含んでいるので，高校入試対策の第１段階としてのベース作りができます。
⑤見やすい2色の解答・解説で「考え方」を確認し，理解を深めます。
くもん出版より引用

【おすすめする理由】

問題の難易度が定期テストにピッタリです。

学年別・単元別にシリーズ化されています。

学校の提出物とセットで進める
テスト1-2週間前から復習用で使う

の2通りがおすすめです。

「関数」のおすすめの問題集

『できた!中1数学関数・図形・データの活用（中1～中3）』

特徴：

〔本書のねらい〕
基礎・基本が最初の一歩からよくわかるくもん独自のステップで，解きながら学ぶことができます。また，４択クイズアプリにより，テスト前にスマホで５教科の要点チェックができます。

〔学習内容・特徴〕
①基礎からのスモールステップと反復練習により，無理なく学習が進められます。
②豊富な練習量でなめらかなステップを実現することで，基礎力を確実に身につけます。
③未知のことを一方的に「教わる」のではなく，「例」や「空欄問題」を見て解き進めながら，自ら学びとることができます。
④発展的な問題も含んでいるので，高校入試対策の第１段階としてのベース作りができます。
⑤見やすい2色の解答・解説で「考え方」を確認し，理解を深めます。
くもん出版より引用

【おすすめする理由】

問題の難易度が定期テストにピッタリです。

学年別・単元別にシリーズ化されています。

学校の提出物とセットで進める
テスト1-2週間前から復習用で使う

の2通りがおすすめです。

80点以上を目指す場合の勉強方法

80点以上を目指すなら、
応用問題を解けるかどうかがポイントになります。

前述の学習ポイントをすべて押さえておくと80点を取る実力が身につきます。

テストでミスをしない・制限時間内に解く力を養いましょう。

学校で習った日に提出課題を進めます。

提出課題よりもハイレベルな問題集を1冊準備しておきましょう。

テスト2週間前になったらそのハイレベルな問題集をスタートします。

テストまでにテスト範囲を2周しておきましょう。

学校の授業があった日に提出課題で復習
テスト2週間前からハイレベルな市販教材でさらに2周

高校入試対策の仕方

入試対策に本格的に入るのは中学3年生からという人が多いと思います。

そのときには、以前習った内容を少し忘れてきています。

下記の順に勉強するとスムーズです。

①前学年までの復習として単元別に演習する
②総合問題や入試頻出問題で勉強する

たいていの入試対策問題集は、
この①→②の順に勉強するようにできています。

頻出パターンごとの勉強方法

入試問題は出題パターンが限られています。

基本問題は出ないので、
単元別の復習をしたら早速入試対策に入りましょう。

頻出パターンごとの勉強方法をお伝えします。

放物線と直線の面積

下記のグラフをご覧ください。色塗りされている三角形の面積を求める問題がよく出ます。

一次関数と二次関数のグラフが点Aと点Bで交わり、辺ABがy軸と交わっています。

辺ABとy軸との交点の座標は連立方程式で求められます。
※「交点」はすべて連立方程式で求めます

交点の座標を求める問題は、
入試では(1)で出てくることがよくあります。

確実に正解しておきたいですね。

面積については中3で習った方法を使い、下記の4つの手順で解きます。

　① y軸と辺ABの交点をPとし、点Pの座標を求める。
　①辺OPを境にして点A側と点B側の2つの三角形にわける
　③辺OPを底辺にして、底辺とそれぞれの三角形の高さ（x座標）を求める
　→点A側の三角形の高さ：2
　→点B側の三角形の高さ：4
　④△OAPと△OBPの面積を足す

正方形・長方形の座標・面積

小問2-3つで出てくるパターンが多いです。

(1)辺の長さを求める
(2)面積を求める
のように、小問にわかれます。

解法ポイントは、
「交点の座標から辺の長さを求めること」
です。

「(1)辺の長さ」は交点の座標から求めます。

交点の座標は、前項でもお伝えしたように連立方程式で求めます。

「(2)面積」は辺の長さがわかれば求められます。

面積の求め方は下記のとおりですね。
長方形：縦×横
正方形：1辺×1辺

長方形は縦と横の2種類の長さを求める必要がありますが、
正方形は1辺さえわかればOKです。

等積変形

下記のグラフをご覧ください。

X軸上にある点Pを考え、
△OABと△OBPの面積が等しくなるような点Pの座標を求めます。

中1で習った平行線の性質で、
「2本の平行線で作られた三角形は、底辺が同じなら面積も同じ」
という性質がありました。

この性質を利用して、下記の手順で解きます。

①点Aを通り、辺OBに平行な直線を引く
（この直線とx軸の交点を点Pにする）

②原点Oと点Bを結ぶ直線の傾きを求める
（この場合、1になる）

③直線APの式をつくる
→　y=ax+b
傾きが1なので、a=1
→　y=x+b
傾きが1なので、y軸と交わる点のy座標は6になる
→　y=x+6

④点Pのx座標を求める
→　0=x+6
→　x=-6
→　点P(-6, 0)とわかる

「面積が等しくなるような～を求めよ」
と出てきたら、等積変形です。

上記のように平行線の性質を利用して解きましょう。

総合問題・過去問演習

単元別・頻出問題別に演習をしたら、
いよいよ総合問題や過去問で演習しましょう。

総合問題演習

複数の単元をまとめた問題の演習です。

各問題集の最後に掲載されているか、
分厚い問題集だと2-3つの単元ごとに復習問題として掲載されています。

【目的】
単元ごとの知識を整理してアウトプットできる力を養う。

【おすすめの学習量】

少なくとも5回分は解きましょう。

【ワンポイント】
複数単元を1度に解こうとすると、解き方を思い出すのに苦労することがあります。

下記の順に演習してみましょう。

苦労した単元を軽く復習
再度、同じ総合問題を解く

過去問演習

総合問題演習が終わったら過去問演習に入りましょう。

過去問ばかり集めた問題集を使います。

【目的】
入試で1点でも高く取れるように練習する。

【おすすめの学習量】

少なくとも5回分は解きましょう。

【ワンポイント】
下記の2点を実践してみましょう。

制限時間を設定する
解きながら時計を見て、残り時間で解く問題を考える

制限時間内に1点でも高い点数を取れるようにします。

大問を1つ解くごとに時計を確認し、
残り時間でどの問題を解けば少しでも高い点数を取れるかシミュレーションを繰り返しましょう。

まとめ

いかがでしょうか。

「関数」は定期テストでも高校入試でも重要な分野です。

「数と式」の力が土台にもなるため、
「数と式」「関数」の両方の分野の勉強が必要です。

※関連記事：高校受験によく出る数学の文章問題

応用問題になると解法がワンパターンになりがちなので、得点源にしやすい分野でもあります。

この記事で紹介した定期テスト・高校入試の勉強方法を使って、関数分野をぜひ得意にしてしまいましょう。

関数以外の勉強の仕方をこちらの記事で紹介しています。
※関連記事：平面図形・空間図形の解き方
※関連記事：確率の解き方

市販の参考書・問題集を使っての学習がはかどらない場合は、通信教育や塾が問題解決に役立つかもしれません。

通信教育は「解説のわかりやすさ」と「自宅学習のつづけやすさ」が両立するだけでなく、タブレット学習なら学習状況に応じて個人別に問題が提示されます。

※関連記事：【最新版】中学生向けオススメの通信教育5社を比較

また、自宅外に出て勉強モードに切り替えたい場合はやはり塾が役立ちます。

中学生の2人に1人以上は通塾形態でがんばっています。

※関連記事：中学生はいつから塾に通う？費用は？

関数とは何か

関数の重要性は？

ほかの単元とのつながりは？

学年別の定期テスト対策

中学1年生の定期テスト対策

学習内容のポイント

定期テスト対策の仕方

中学2年生の定期テスト対策

学習内容のポイント

定期テスト対策の仕方

中学3年生の定期テスト対策

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定期テスト対策の仕方

定期テスト目標点数別の勉強スケジュール

平均点を目指す場合の勉強スケジュール

「数と式」のおすすめの問題集

「関数」のおすすめの問題集

80点以上を目指す場合の勉強方法

おすすめのハイレベル問題集

高校入試対策の仕方

頻出パターンごとの勉強方法

放物線と直線の面積

正方形・長方形の座標・面積

等積変形

総合問題・過去問演習

総合問題演習

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過去問演習

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数学公式集

数学トレーニング（中学1年・2年・3年の数学計算勉強アプリ）

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