中2で習う一次関数には「変域を求めなさい」などの問題が出てきます。
問題の意味が分かりづらいため、「変域」が出てくると何をどうすればいいのか分からなくなる人が多いです。
そこで、中学生向けに一次関数の変域について解説します。変域の求め方や変域のあるグラフのかき方を説明し、変域を求める練習問題や応用問題を用意しました。
※関連記事：中学数学のテスト勉強法とおすすめの数学問題集
一次関数の変域とは
一次関数はy=ax+bの式で表すことができます。一次関数には「変域」という用語が出てきます。
変域とはxやyが変化する範囲
変域とは、「xやyが変化する範囲」のことです。
xやyは変数と言って、そのときそのときで数字が変わります。その変化の範囲が変域です。
不等号を使って書く
変域は不等号を使って表します。
例えば「xの変域が3以上5以下」の場合、以下のように書きます。
3≦x≦5
不等号には4種類あり、それぞれ以下のように使います。
＜ x＜4…xは4未満
≦ x≦4…xは4以下
＞ x＞4…xは4より大きい
≧ x≧4…xは4以上
＜は「小なり」と読み、≦は「小なりイコール」と読みます。
「以上・以下」はその数を含みますが、「未満・より大きい」はその数を含みません。
例えば「xは4未満」といえば、「xは4を含まない（4のほうがxより大きい）」という意味です。
一次関数では普通、≦を使います。
まとめ
- 一次関数は y=ax+bの形で表され、直線のグラフを描く。
- 変域は「xやyが取りうる値の範囲」を示す。
一次関数の変域の求め方
一次関数の変域は一次関数の式を使って計算で求めることができます。手順は3つです。
ここでは、y=3x+2という式を使い、xの変域が2≦x≦4のときの変域の求め方を説明します。
なお、一次関数の変化の割合の求め方について、以下の記事でくわしく解説しています。
一次関数の変化の割合の求め方と練習問題
参考：ベネッセ教育情報「【1次関数】1次関数 y＝－x のときの変域の求め方」
最小値と最大値を一次関数の式に代入する
まず、y=3x+2にx=2とx=4を代入します。端っこにある数字2つを代入すればＯＫです。
【x=2を代入した場合】
y=3x+2
y=3×2+2
y=8
【x=4を代入した場合】
y=3x+2
y=3×4+2
y=14
これで、「yは8以上14以下」だと分かりました。
小さい値を左、大きい値を右に書き、真ん中にxかyを書く
次に、「y」「8」「14」の3つを並び替えます。
「8 y 14」のように、小さい値を左端、大きい値を右端、そしてxかyを真ん中に書きます。
不等号で結ぶ
最後に、「8 y 14」を不等号で結びます。
8≦y≦14
これで完成です。「yの変域を求めなさい」と問われていたら、「8≦y≦14」と解答欄に書きます。
まとめ
- 変域の求め方は、まずxの範囲を確認し、それに対応するyを計算する。
- 傾きが正か負かでyの範囲の上下が変わる。
変域のあるグラフのかき方
一次関数ではグラフをかきます。変域が指定されている場合のグラフのかき方をy=2+1（-2≦x≦2）の式を使って説明します。
なお、一次関数のグラフのかき方を以下の記事でくわしく解説しています。
一次関数のグラフのかき方や読み方の解説と練習問題
切片に点をうつ
まず、切片に点をかきます。これは変域指定がない場合のグラフのかき方と同じです。
切片というのはy軸上の点で、y=2x+1の式では「1」です。
xとyの両方が整数になる座標に点をうつ
次に、xとyの両方が整数になる座標を探します。
変化の割合が整数ならx=1を代入し、変化の割合が分数なら分母をxに代入します。
例えばy=1/2x+1という式なら、変化の割合が1/2なので、分母の2をxに代入します。
※関連記事：一次関数の変化の割合の求め方と練習問題
ここでは、y=2x+1の式を使うので、x=1を代入します。すると、yは以下のように求められます。
y=2x+1
y=2×1+1
y=3
（1, 3）という座標を通ることが分かったので、グラフ上の（1, 3）に点を打ちます。
2点を直線で結ぶ
グラフ上の2つの点を直線で結びます。
変域外の線を点線にする
最後に、変域の外にある線を点線にします。xの変域は「-2≦x≦2」なので、x=-2とx=2より外にある線を点線にします。
一次関数の変域を分かりやすく理解する方法
一次関数の「変域」とは、xの値が決まったときにyの値がどのように変わるか、その範囲のことを言います。
例えば、xが−2から3まで変化するとき、yの値がどんな範囲になるかを考えることです。これを理解するためには、数直線やグラフを使うととても簡単です。
数直線を使って変域を理解しよう
まずは数直線を使って、xの範囲を確認します。
例えば、xの範囲が「−2から3」だとすると、この範囲を数直線に描きます。次に、そのxの範囲に対応するyの範囲を考えます。
このとき、yの範囲を矢印で示すと、変域がどんな意味かがよくわかります。
例えば、一次関数が「y= 2x+1」の場合、xが−2から3まで変化する時、yの値も変わります。
数直線と矢印を使って、xとyの関係を視覚的に理解しましょう。
グラフを使って変域を確認しよう
次に、一次関数のグラフを描いてみましょう。xの範囲をグラフで太めに書くと、yの範囲を視覚的に見つけやすいです。
例えば、xが−2から3の範囲だと、グラフ上でその範囲の点を見つけてみましょう。
一次関数のグラフは直線です。傾きが正（上に向かって右に進む）なら、xが増えるとyも増えます。傾きが負（下に向かって右に進む）なら、xが増えるとyは減ります。
このように、グラフを使うとxの範囲とyの範囲がどう変化するかがすぐにわかります。
まとめ
- 数直線を使ってxの範囲と対応するyの範囲を示すと、変域がわかりやすい。
- 一次関数のグラフを描いて、xの範囲を強調表示すると、yの範囲の変化が直感的に理解できる。
- 傾きが正の時、グラフは右上がりで、xが増えるとyも増える。
- 傾きが負の時、グラフは右下がりで、xが増えるとyは減る。
一次関数の変域の問題（文章問題含む）
変域の求め方が分かったところで、変域を求める問題を解いて練習してみましょう。
応用の文章問題も用意しています。
【参考】
千葉県教育委員会 – 数学2年生 – 一次関数
大阪府教育委員会「一次関数とグラフ」
問題(1)
一次関数y=2x+3について、xの変域が次のときのyの変域を求めてください。
①-2≦x≦4
②2≦x≦6
③-1/2≦x≦0
解答
y=2x+3の式に各問題で指定されているxの値を代入します。
①-1≦y≦11
x=-2とx=4を代入します。
y=2x+3
y=2×-2+3
y=-1
y=2x+3
y=2×4+3
y=11
②7≦y≦15
x=2とx=6を代入します。
y=2x+3
y=2×2+3
y=7
y=2x+3
y=2×6+3
y=15
③2≦y≦3
x=-1/2とx=0を代入します。
y=2x+3
y=2×-1/2+3
y=2
y=2x+3
y=2×0+3
y=3
問題(2)
一次関数y=-2x+3について、yの変域が次のときのxの変域を求めてください。
①0≦y≦4
②-2≦y≦4
③-1/4≦y≦6
解答
y=-2x+3の式に各問題で指定されているyの値を代入します。
①-1/2≦x≦3/2
y=0とy=4を代入します。
y=-2x+3
0=-2x+3
x=3/2
y=-2x+3
4=-2x+3
x=-1/2
②-1/2≦x≦5/2
y=-2とy=4を代入します。
y=-2x+3
-2=-2x+3
x=5/2
y=-2x+3
4=-2x+3
x=-1/2
③-3/2≦x≦13/8
y=-1/4とy=6を代入します。
y=-2x+3
-1/4=-2x+3
x=13/8
y=-2x+3
6=-2x+3
x=-3/2
問題(3)
一次関数y=ax+3の式があります。xやyの変域が次のとき、aの値をすべて求めてください。
①xの変域が-2≦x≦3のとき、yの変域が-3≦y≦12
②xの変域が-4≦x≦4のとき、yの変域が1≦y≦5
解答
y=ax+3の式に各問題で指定されているxとyの変域を代入します。このとき、a（変化の割合）がプラスの場合とマイナスの場合の両方で計算します。
変化の割合がプラスならxが最小値のときyも最小値になり、
変化の割合がマイナスならxが最小値のときyは最大値になります。
①a=3
a＞0のとき、
x=-2のときy=-3になります。これをy=ax+3の式に代入します。
-3=-2a+3
a=3
また、x=3のときy=12になります。これをy=ax+3の式に代入します。
12=3a+3
a=3
どちらの組み合わせでもa=3になったので、解として「適している」といえます。
同様にa＜0のとき、
x=-2のときy=12になります。これをy=ax+3の式に代入します。
12=-2a+3
a=-9/2
また、x=3のときy=-3になります。これをy=ax+3の式に代入します。
-3=3a+3
a=-2
組み合わせによってaの値が異なるので、解として「適していない」といえます。
「適している」というのは「条件に当てはまっている。答えとして正しい」という意味で、「適していない」とは「条件に合わない。答えとしておかしい、間違っている」という意味です。
xとyの組み合わせを同じ式（y=ax+3）に代入しているので、aの値は同じになります。
②a=1/2、a=-1/2
a＞0のとき、
x=-4のときy=1になります。これをy=ax+3の式に代入します。
1=-4a+3
a=1/2
また、x=4のときy=5になります。これをy=ax+3の式に代入します。
5=4a+3
a=1/2
どちらの組み合わせでもa=1/2になったので、適しています。
同様にa＜0のとき、
x=-4のときy=5になります。これをy=ax+3の式に代入します。
5=-4a+3
a=-1/2
また、x=4のときy=1になります。これをy=ax+3の式に代入します。
1=4a+3
a=-1/2
どちらの組み合わせでもa=-1/2になったので、適しています。
問題(4)
一次関数y=ax+bの式があります。xやyの変域が次のとき、aとbの値の組をすべて求めてください。
①xの変域が-3≦x≦1のとき、yの変域が-8≦y≦4
②xの変域が-2≦x≦4のとき、yの変域が2≦y≦5
解答
問題(3)と同じく、y=ax+bの式にxとyの組み合わせを代入します。
①（a, b）＝（3, 1）、（-3, -5）
a＞0のとき、
x=-3のときy=-8になります。これをy=ax+bの式に代入します。
-8=-3a+b
また、x=1のときy=4になります。これをy=ax+bの式に代入します。
4=a+b
さらに-8=-3a+bと4=a+bを連立方程式にして計算します。
a=3、b=1
これは、a>0に適しています。（a>0の場合にaがいくらになるかを求めたので、a=3なら条件に合っています。）
同様にa＜0のとき、
x=-3のときy=4になります。これをy=ax+bの式に代入します。
4=-3a+b
また、x=1のときy=-8になります。これをy=ax+bの式に代入します。
-8=a+b
さらに4=-3a+bと-8=a+bを連立方程式にして計算します。
a=-3、b=-5
これは、a＜0に適しています。（a＜0の場合にaがいくらになるかを求めたので、a=-3なら条件に合っています。）
②（a, b）＝（1/2, 3）、（-1/2, 4）
a＞0のとき、
x=-2のときy=2になります。これをy=ax+bの式に代入します。
2=-2a+b
また、x=4のときy=5になります。これをy=ax+bの式に代入します。
5=4a+b
さらに2=-2a+bと5=4a+bを連立方程式にして計算します。
a=1/2、b=3
これは、a>0に適しています。
同様にa＜0のとき、
x=-2のときy=5になります。これをy=ax+bの式に代入します。
5=-2a+b
また、x=4のときy=2になります。これをy=ax+bの式に代入します。
2=4a+b
さらに5=-2a+bと2=4a+bを連立方程式にして計算します。
a=-1/2、b=4
これは、a＜0に適しています。
問題(5)
最大100gまではかることのできる長さ80mmのばねにおもりをつるしたところ、おもり1gごとに2mmのびました。おもりの重さをxg、全体のばねの長さをymmとして以下の問題に答えてください。
①yをxの式で表してください。
②xの変域を表してください。
③おもりが60gのときの全体のばねの長さを求めてください。
解答
①y=2x+80
ばねがおもり1gごとに2mmのびるので、変化の割合は2。
また、おもりをつるしていないとき（x=0のとき）のばねの長さ（y）が80mmなので、
y=2x+80
②0≦x≦100
最大100gまではかれるので、0≦x≦100
③200mm
x=60をy=2x+80に代入します。
y=2×60+80
y=200
問題(6)
80L入る水そうに毎分2Lの水を入れます。x分間水を入れたときの水そうの水の量をyLとして以下の問題に答えてください。
①yをxの式で表してください。
②xの変域を表してください。
③水の量が50Lになったとき、水を何分間入れたことになりますか。
解答
①y=2x
1分間に2Lの水を入れるので、変化の割合は2。
また、水を入れていないとき（x=0）に水の量（y）は0Lなので、
y=2x
②0≦x≦40
80Lまで入れられるので、y=80のときのxの値を求めます。
80=2x
x=40
③25分間
y=2xにy=50を代入します。
50=2x
x=25
中学数学の問題集
最後に、中学数学のおすすめ問題集を紹介します。
『中学10分間復習ドリル 数学2年』
数学を基本からコツコツ復習したい人に向いているドリルです。
1日10分から基本問題の演習ができます。
中学10分間復習ドリル 数学2年:サクサク基礎トレ! (受験研究社)
出版社：増進堂・受験研究社
『中学2年 数学 標準問題集』
基本レベルから応用レベルまで幅広く演習できる問題集です。
定期テストで平均点前後からスタートして90点くらいまでを目指せます。
中学2年 数学 標準問題集: 中学生向け問題集/定期テスト対策や高校入試の基礎固めに最適! (受験研究社)
出版社：増進堂・受験研究社
まとめ
いかがでしょうか。
中学生向けに一次関数の変域について解説しました。変域はxやyの変化する値のことで、2≦y≦5のように不等号を使って表します。
変域の求め方はy=ax+bの一次関数の式に最小値と最大値を代入し、不等号で結ぶことです。また、変域のあるグラフは普通の一次関数のグラフのかき方とほぼ同じで、最後に変域外の線を点線にすれば完成です。
変域を得意にして、定期テストや高校入試で数学を得点源にしましょう！
※Z会について下記記事でくわしく紹介しています。
【中学生向け】Z会タブレットコースの進め方：成績上位を取って難関校に合格する方法を解説
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